ルーローの四面体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
正四面体とルーローの四面体
4つの球の共通部分がルーローの四面体となる

ルーローの四面体 (Reuleaux tetrahedron) は、正四面体の各頂点中心とし、正四面体の長(以下 s とする)を半径とする、4つの共通部分である。

ルーローの四面体は4つの頂点、6つの、4つのを持ち、正四面体と同相である。しかし、面が平面ではなく膨らんでおり、各頂点を中心とし半径 s球面部分集合になっている。また辺も線分ではなく、各頂点を中心とし半径 s円弧である。そのため、多面体ではない。

ルーローの四面体の定義はルーローの三角形の定義をそのまま3次元に拡張したものといえる。ルーローの四面体の3つの頂点を通る平面での断面は、ルーローの三角形である。

非定幅性[編集]

ルーローの三角形は定幅図形なので、ルーローの四面体も定幅図形であると考えるかもしれない。もし定幅図形なら、工学分野での応用が期待できる。しかし実際はルーローの四面体は定幅図形ではない。

ルーローの四面体の相対する辺の中点同士の距離は、

\left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) s \approx 1.024944 s

で、頂点と相対する面上の任意の点との距離 s より大きく、定幅は成り立たない。

ただし Meißner & Schiller (1912) は、ルーローの四面体の辺を削ってトーラスの部分集合で置き換えることで、定幅図形に修正できることを示した。この図形はマイスナー体 (Meissner bodies) やマイスナーの四面体 (Meissner tetrahedra) と呼ばれる。

体積[編集]

ルーローの四面体の体積は、

 \frac{ s ^ 3 }{ 12 } \left( 3 \sqrt 2 - 49 \pi + 162 \tan^{-1} \sqrt 2 \right) \approx 0.422158 s^3

である。これは辺長 s の正四面体の体積の 3.582127 倍、直径 s の球の体積の 0.806262 倍である。

ルーローの多面体[編集]

2次元では、ルーローの三角形以外に、任意の奇数角形に対するルーローの多角形が存在する。

しかし3次元では、ルーローの多面体はルーローの四面体のみである。これは、頂点と面とが相対する正多面体が正四面体のみだからである。

外部リンク[編集]