ルーローの三角形
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ルーローの三角形（ルーローのさんかくけい）とは、おむすび形(三角形)をした定幅図形。フランツ・ルーローが開発したことからこの名がついた。より一般的にはルーローの多角形（ルーローのたかくけい）という。
正三角形の各頂点を中心に半径がその正三角形の1辺となる円弧で結んでできる。曲線をもつので多角形ではない。同じような図形を立体で作るとルーローの四面体ができる。ルーローの四面体は定幅図形ではない。
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[編集] 性質
- 定幅図形なので、高さが一定のまま転がる事ができる。しかし、転がしたときの重心の高さは一定しないことから、円（円盤）のようにスムーズには転がらない。とはいえ、曲線を含む図形なので三角形よりはスムーズに転がる。
- ルーローの三角形は正方形の中で内接しながら回転する事ができる。この特長を利用した断面のドリルを使うと正方形に近い形（四隅が丸い正方形）の穴をあけることができる。
[編集] ルーローの多角形
正三角形以外の正多角形でも同様に各頂点を中心とし、その頂点からもっとも遠い頂点までの距離を半径とした円弧を描いていくことによって似たような図形が作れる。しかしそれができるのは、もっとも遠い頂点が2つある場合だけである。つまり、頂点の数が奇数個の正多角形の時だけルーローの多角形を作ることが可能である。
[編集] ルーローの多角形の性質
- 基本的にはルーローの三角形の場合と同じで、定幅図形としての性質を持ち、高さを変えずに転がる事ができる。この時、ルーローの三角形と同様に重心の高さは変化するが、nの値が大きくなるにつれて、最高の重心の高さと最低の高さの差が小さくなるので、ルーローの三角形よりもスムーズに転がる。ちなみに、n=∞のとき、ルーローの2n-1角形は円になる。
- ルーローの2n-1角形は正2n角形に内接しながら回転できる。このため、ルーローの三角形の時のようなドリルが作れる。
[編集] 性質の応用
[編集] 硬貨
応用例としては、イギリスの20ペンス・50ペンス硬貨が良く知られており、これらはルーローの七角形となっている。またカナダの1ドル硬貨はルーローの十一角形となっている。
この硬貨はまず定幅図形としての性質が無ければ、全く使い物にならなくなってしまう。なぜなら、自動販売機にこの硬貨を入れた時、この硬貨が定幅図形でなければ途中で引っかったり、機械が実際の物よりも小さい物であると判断し兼ねない。これでは不自由である。しかし、この硬貨は定幅図形なので円形の硬貨と同じように不自由無く使える。
また、この図形は完全な円形ではなく頂点を持っている。これによって転がった時に重心の高さが変化するので、スムーズに転がらなくなる。すると、この硬貨を落とした時に、転がって手の届かないところに行ってしまうことが少なくなる。その他にも、硬貨の形に円弧を持たせることによって、その硬貨を外部の力に対して強くするという効果がある。
他にも、マツダのロータリーエンジンにおいて、この図形とペリトロコイド曲線の性質が応用され使われている。
[編集] 受験数学での類似図形
受験算数・受験数学では、ルーローの多角形に類似した図形の面積を求める問題がある。ルーローの多角形では正多角形の外側に求める図形が現れるが、この場合は、正多角形の内側に求める図形が現れる。
[編集] ルーローの三角形に類似
- 図形の定義
- 正三角形の3つの頂点をそれぞれ中心として、半径が正三角形の高さに等しい3つの円を描いたとき、その3つの円弧に囲まれて正三角形に内接する図形。
[編集] ルーローの多角形に類似
- 図形の定義
- 正方形に内接する4つの四分円が全て重なる部分の図形。
「膨四角形」、「膨らんだ四角形」などと呼ばれることがある。面積を求めるのには無理数を使うので、もとは中学生向けの難問であったが、概数を与えて問う問題である。
- 膨四角形の面積の求め方1
- あらかじめイチョウの葉形の面積を求め、正方形から4つのイチョウの葉形をひく。イチョウの葉形の面積は正三角形と中心角30度の扇形の和から、中心角60度の扇形をひいて求める。
- 膨四角形の面積の求め方2
- はじめに、膨四角形の四分の一の面積を計算する。 1／4の面積は、中心角30度の扇形から、2つの三角形の和をひいて求める。これを4倍して、解答とする。
