ポアンカレの回帰定理

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ポアンカレの回帰定理とは、アンリ・ポアンカレ(H.Poincaré,1854-1912)により証明された解析力学上の定理である。英語では "Poincaré's recurrence theorem" だが、訳語としてはポアンカレの再帰定理[1][2][3]ポアンカレの回帰定理[4]とがある。ポアンカレの再帰性定理とされることもあるらしい。ポアンカレは天体3体問題の研究の中でこの定理に至り、1890年に発表した[5]。単に回帰定理ともいう[4]

概要[編集]

解析力学では力学系のひとつの状態位相空間(例えば質点の位置と運動量を座標とする空間)上の点で表され、その点の近傍はその状態に近い状態の集まりを表し、回帰定理はこの位相空間上の力学系に関する定理である。簡単には、「力学系は、ある種の条件が満たされれば、その任意の初期状態に有限時間内にほぼ回帰する」[5]、「ほとんどすべての軌道が出発点の任意の近傍に無限回もどってくる」[4]、「与えられた初期条件に、いくらでも近づき、かつそれを何回でも繰返すことができる」[2]と表現される。 ここである条件、つまり回帰定理の成り立つ条件とは、広く一般的にいえば力学系が保測的(位相空間内の点集合の体積が保存されること)で、その軌道が有限領域に限られていることである[2]。例えばニュートン力学の成り立つ系で等エネルギー面を動く軌道(エネルギーが保存される状態の軌道)では回帰定理が成り立つ[2]。つまり通常現実的に考え得るエネルギーの出入りのない系では回帰定理が成り立つと考えられる。

回帰定理が孤立系の現象の厳密な繰り返しを示したと解釈する人もいる[6]。だがこの解釈には2つの意味での誤解がある。第一に、力学系は初期状態の近傍に戻るだけであり、初期状態そのものに戻るとは限らない。第二に、近傍に戻る時刻(時点)の分布は特別な場合を除けば不規則であり、一定の周期は持たない[4]。ポアンカレが示したように多体問題の解の軌道はカオスになることが多く、その場合は運動が周期的繰り返しにはならないのである。

数学的表現と証明[編集]

回帰定理または再帰定理の数学的表現や証明は解析力学のテキストなどに記載されている[1][3][4]

熱力学との関連[編集]

ボルツマン熱力学第二法則原子論で説明することを試み、H定理を発表した。これに対してエルンスト・ツェルメロ(E.Zermelo)は、1896年にポアンカレの回帰定理を根拠とする、再帰パラドックス(recurrence paradox)を発表して批判した[5]。詳細は不可逆性問題およびH定理を参照のこと。

参考文献[編集]

日本語の文献では再帰定理となっている場合と回帰定理となっている場合とがあるので注意すること。

  1. ^ a b 山本義隆;中村孔一『解析力学1-(朝倉物理学大系)』朝倉書店 ISBN 4-25-413671-4(1998/09)
  2. ^ a b c d 『物理学辞典-改訂版』培風館(1992/05)
  3. ^ a b 新井朝雄『現代物理数学ハンドブック』朝倉書店(2005/06) ISBN 4-25-413093-7
  4. ^ a b c d e 長倉三郎、他(編)『岩波理化学辞典-第5版』岩波書店 (1998/02)
  5. ^ a b c 藤原邦男;兵頭俊夫『熱学入門―マクロからミクロへ』東京大学出版会 (1995/06) 11章 ISBN 4-13-062601-9
  6. ^ ピーター・コヴニー;ロジャー・ハイフィールド『時間の矢、生命の矢』草思社(1995/03) p19,70

外部リンク[編集]