トロコイド

この記事ではトロコイドと併せて外トロコイドと内トロコイドについても解説する。

トロコイド

トロコイド
(r_m=1,-2π≤θ≤2π,r_d=1/5（マゼンタ）,1/2（黄）,1（緑）,2（赤）,3（青）)

動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、トロコイド(trochoid) の媒介変数表示は

$\begin{cases} x=r_m\theta - r_d\sin\theta,\\ y=r_m - r_d\cos\theta, \end{cases}$

によって表される曲線である。余擺線（よはいせん）ともよばれる。

r_m<r_dのとき、1回の回転でx軸と2回交わる。 r_m=r_dのとき、1回の回転でx軸と1回接し、曲線はサイクロイドとなる。 r_m>r_dのとき、x軸と交わらない。

外トロコイド

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、外トロコイドの媒介変数表示は

$\begin{cases} x=(r_c + r_m)\cos \theta - r_d\cos \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),\\ y=(r_c + r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right), \end{cases}$

によって表される曲線である。エピトロコイド(Epitrochoid) とも呼ばれる。r_d=r_mのとき外サイクロイドとなる。

内トロコイド

図は r_c = 5, r_m = 3, r_d = 5 の内トロコイド

楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は r_c = 10, r_m = 5, r_d = 1 の場合。

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、内トロコイドの媒介変数表示は

$\begin{cases} x=(r_c - r_m)\cos \theta + r_d\cos \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),\\ y=(r_c - r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right), \end{cases}$

によって表される曲線である。ハイポトロコイド(Hypotrochoid) とも呼ばれる。r_d=r_mのとき内サイクロイドとなる。また特にr_c=2r_mのとき、描画点の軌跡は楕円を描く。

関連項目

• サイクロイド

外部リンク

• メリーゴーラウンド

参考文献

• 『曲線の事典 性質・歴史・作図法』　礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著

共立出版、2009年　ISBN 9784320019072