カージオイド

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カージオイド(a=1の場合)

カージオイド: cardioid)は、極座標の方程式

r=a(1 + \cos \theta)

によって表される曲線である。心臓形(しんぞうけい)とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた(ギリシア語では kardioeides =「kardia(心臓)」 + 「eidos(形)」)。

直交座標の方程式では

(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 -2ax)-a^2 y^2=0

で、パラメータ表示では

\begin{align}x&=a(1 + \cos \theta)\cos \theta,\\ y&=a(1 + \cos \theta)\sin \theta\end{align}

で、それぞれ表される。

外サイクロイドの一種と見なすことができる。またパスカルの蝸牛形 (Limason de Pascal) の一種と見なすこともできる。

外サイクロイドとしてのカージオイド曲線を半径の等しい外接円の一点の軌跡として表したアニメーション

x軸に対して線対称で、尖点は原点Oである。x軸とは原点Oと (2a, 0) で、y軸とは (0, a) と (0, -a) で交わる。x軸から最も離れた点の座標は

\left(\frac{3}{4}a,\frac{3\sqrt{3}}{4}a\right), \left(\frac{3}{4}a,-\frac{3\sqrt{3}}{4}a\right)

である。

曲線で囲まれる面積S と曲線の弧長l

\begin{align}S&=\frac{3}{2} \pi a^2, \\ l&=8a\end{align}

である。