アーネシの曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
アーネシの曲線。a = 1(赤)、2(青)、3(緑)

アーネシの曲線(アーネシのきょくせん) (witch of Agnesi) またはアーネシの魔女直交座標の方程式 y = \frac{a^3}{x^2+a^2} または (x^2 + a^2)y - a^3 = 0 によって表される曲線である。媒介変数表示では x = a t, y = \frac{a}{t^2+1} で表される。

y軸に対して線対称である。x軸を漸近線に持つ。\left(-\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{4}\right),\left(\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{4}\right)変曲点である。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ(アーネシ)が研究したことから名がある。「魔女」というのはイタリア語のVersiera「縄」を誤訳したもので意味はない。

アーネシの曲線

原点 O を基準として、円上の点 A に対し線 OA を引く。 点 M は円の上の、点 O の反対の点である。 線分 OA はMから x 軸に水平に引いた線と、点 N で交わる。 点 N を通る、線OMと平行な線を引き、これが点 A から x 軸に水平に引いた線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡がアーネシの曲線である。

方程式[編集]

アーネシの曲線をアニメで表現したもの

原点O、とy軸上の点Mの両方に交わる円がある。 この円の半径をaとする。

この曲線の方程式はこのようになる y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

もし a=1/2 ならば、この方程式は下のように簡単化される。: y = \frac{1}{x^2+1}.

もし \theta\, が OM および OA 間の角度(時計回り)ならば、曲線は以下のようにも表される。

x = 2a \tan \theta,\ y = 2a \cos ^2 \theta.\,

他に、\theta\, が OA とx 軸の角度(反時計回り)ならば、曲線は以下のようにも表される。

x = 2a \cot \theta,\ y=2a\sin ^2 \theta.\,

プロパティ[編集]

アーネシの曲線にてパラメーターを a=1, a=2, a=4, a=8に変化させたグラフ


歴史[編集]

この曲線の性質についてはPierre de Fermat(1630年),Guido Grandi(1703年),Maria Gaetana Agnesi(1748年)の研究が知られている。[1]

イタリアではこの曲線はla versiera di Agnesiと呼ばれており、その英訳は "the curve of Agnesi"であるが、ケンブリッジ大学の教授John Colson が誤訳したため、witch of Agnesi とも呼ばれる。[2][3][4]

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。

注記[編集]

  1. ^ http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml
  2. ^ Women in Mathematics By Lynn M. Osen (1975) p. 45
  3. ^ "Fermat's Enigma" by Simon Singh p. 100
  4. ^ The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes By David J. Darling (2004) p. 8