アーネシの曲線

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アーネシの曲線。c = 1(赤)、2(青)、3(緑)

アーネシの曲線(アーネシのきょくせん) (: la versiera di Agnesi, : witch of Agnesi) またはアーネシの魔女直交座標における方程式

y = \frac{c^3}{x^2+c^2}

すなわち (x^2 + c^2)y - c^3 = 0 によって表される曲線である。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ(アーネシ)が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera(縄)の誤訳であって、意味はない。

アーネシの曲線

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式[編集]

アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの

円の半径を a とすると(c=2a)、曲線の方程式はこうなる。

y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}

a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。

y = \frac{1}{x^2+1}

t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる:

x = 2at, \quad y = \frac{2a}{t^2+1}

\theta\, を OM と OA とのなす角(時計回り)とすると、曲線は次式でも表せる。

x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta

\theta\,x 軸と OA とのなす角(反時計回り)とすると、曲線は次式でも表せる。

x = 2a \cot \theta,\quad y=2a\sin ^2 \theta

性質[編集]

アーネシの曲線で a=1, a=2, a=4, a=8 としたグラフ
  • y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
  • 変曲点\left(-\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right),\left(\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right) である。
  • 曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍(つまり 4 \pi a^2)になる。
  • 上の領域の重心は、(0, a/2) である(元の円の重心は (0, a) である)。
  • 曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、4\pi^2 a^3 である。

歴史[編集]

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー(1630年)、Guido Grandi()(1703年)、マリア・ガエターナ・アニェージ(1748年)の研究が知られている。[1]

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる。[2][3][4]

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。

注記[編集]

  1. ^ http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml
  2. ^ Lynn M. Osen, Women in Mathematics, 1975, p. 45.
  3. ^ Simon Singh, Fermat's Enigma, p. 100.(サイモン・シン著、青木薫訳『フェルマーの最終定理』新潮社〈新潮文庫〉、2006年。ISBN 4-10-215971-1
  4. ^ David J. Darling, The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, 2004, p. 8.