アメーバ (数学)

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（英: amoeba）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

定義[編集]

ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組 $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$ の集合上に定義され、式

\mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|).\,

により与えられる函数

\mathrm {Log} \colon \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が $n$ 変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba) ${\mathcal {A}}_{p}$ は p の零点の集合の Log による像として定義される。

{\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} z\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,

アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、アンドレイ・ゼレヴィンスキー（英語版）(Andrei Zelevinsky)の書籍^[1]で導入された。

アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式

N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},

により、ロンキン函数を、

N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

と定義する。ここに $x$ は $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$ を表す。同じことであるが、 $N_{p}$ は積分

N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},

により与えられる。ここに

z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)

とする。ロンキン函数は凸函数であり、 $p(z)$ のアメーバの補集合の各々の連結成分上ではアフィン（英語版）(affine)である^[3]。

例として、 $a\neq 0$ である単項式

p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}

のロンキン函数は、

N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}

である。

^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994). Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3660-9. Zbl 0827.14036
^ Itenberg et al (2007) p.3
^ Gross, Mark (2004). “Amoebas of complex curves and tropical curves”. In Guest, Martin. UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, January 6–9, 2004. Seminar on Mathematical Sciences. 30. Yokohama: Keio University, Department of Mathematics. pp. 24-36. Zbl 1083.14061

Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii (2007). Tropical algebraic geometry. Oberwolfach Seminars. 35. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl 1162.14300
Viro, Oleg (2002), “What Is . . . An Amoeba?”, Notices of the American Mathematical Society 49 (8): 916–917