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[[数学]]、とくに[[代数的整数論]]において、'''巡回多元環'''(じゅんかいたげんかん、{{lang-en-short|''cyclic algebra''}})とは、[[可換体|体]]の[[巡回拡大]]から構成される[[中心的単純環]]の一種で、[[四元数環]]の一般化。 |
[[数学]]、とくに[[代数的整数論]]において、'''巡回多元環'''(じゅんかいたげんかん、{{lang-en-short|''cyclic algebra''}})とは、[[可換体|体]]の[[巡回拡大]]から構成される[[中心的単純環]]の一種で、[[四元数環|一般四元数環]]の一般化。 |
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体の {{mvar|n}} 次巡回拡大 [[体の拡大|{{mvar|L/K}}]] に対し、その[[ガロア群]] {{math|Gal(''L''/''K'')}} の生成元を {{mvar|σ}} とし、{{math|''β'' ∈ [[単元群|''K''{{sup|×}}]]}} をとる。{{mvar|β}}, {{mvar|σ}} の定める {{mvar|K}} 上の'''巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}}''' は、{{mvar|n}} 個の文字 {{math|{{mset|1=''j''{{sup|0}}, ''j''{{sup|1}}, ''j''{{sup|2}}, …, ''j''{{sup|''n''−1}}}}}} を基底に持つ {{mvar|n}} 次元 {{mvar|L}}-ベクトル空間 {{math|1=''A'' = ''Lj''{{sup|0}} ⊕ ''Lj''{{sup|1}} ⊕ ⋯ ⊕ ''Lj''{{sup|''n''−1}}}} ({{math|⊕}} は[[加群の直和|直和]]) を台となる線型空間とし、{{mvar|A}} に乗法を一般の元 |
[[可換体]] {{mvar|F}} 上の[[体上の多元環|多元環]] {{mvar|A}} が'''巡回多元環'''であるとは、それが {{mvar|F}} 上 {{mvar|n}}-次の正規単純環であって、かつ {{mvar|n}}-次の巡回部分体を持つときに言う{{sfn|Albert|1939|p={{google books quote|id=oahwAAAAQBAJ|pg=PA74|text=cyclic+algebra|74}}}}。 |
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具体的に、体の {{mvar|n}} 次巡回拡大 [[体の拡大|{{mvar|L/K}}]] に対し、その[[ガロア群]] {{math|Gal(''L''/''K'')}} の生成元を {{mvar|σ}} とし、{{math|''β'' ∈ [[単元群|''K''{{sup|×}}]]}} をとる。{{mvar|β}}, {{mvar|σ}} の定める {{mvar|K}} 上の'''巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}}''' は、{{mvar|n}} 個の文字 {{math|{{mset|1=''j''{{sup|0}}, ''j''{{sup|1}}, ''j''{{sup|2}}, …, ''j''{{sup|''n''−1}}}}}} を基底に持つ {{mvar|n}} 次元 {{mvar|L}}-ベクトル空間 {{math|1=''A'' = ''Lj''{{sup|0}} ⊕ ''Lj''{{sup|1}} ⊕ ⋯ ⊕ ''Lj''{{sup|''n''−1}}}} ({{math|⊕}} は[[加群の直和|直和]]) を台となる線型空間とし、{{mvar|A}} に乗法を一般の元 |
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* 巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}} は {{mvar|K}} 上の中心的単純環で {{mvar|L}} で分解する。すなわち、{{mvar|n}}次巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}} と {{mvar|L}} との {{mvar|K}}-[[多元環のテンソル積]]は {{mvar|L}} 上 {{mvar|n}} 次の[[全行列環]] {{math|Mat(''n'', ''L'')}} に {{mvar|L}}-[[多元環同型]]: <math>(\beta, L/K, \sigma) \otimes_K L \simeq \operatorname{Mat}(n,L)</math> である。 |
* 巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}} は {{mvar|K}} 上の中心的単純環で {{mvar|L}} で分解する。すなわち、{{mvar|n}}次巡回多元環 {{math|(''β'', ''L''/''K'', ''σ'')}} と {{mvar|L}} との {{mvar|K}}-[[多元環のテンソル積]]は {{mvar|L}} 上 {{mvar|n}} 次の[[全行列環]] {{math|Mat(''n'', ''L'')}} に {{mvar|L}}-[[多元環同型]]: <math>(\beta, L/K, \sigma) \otimes_K L \simeq \operatorname{Mat}(n,L)</math> である。 |
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* {{mvar|K}} の[[標数]]が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 {{math|(''β'', ''K''({{radic|''α''}})/''K'', ''σ'')}} は {{math|(''α'', ''β'')}}-型[[四元数環]]である。ただし、{{mvar|α}} は {{mvar|K}} の平方元でなく、{{mvar|σ}} は {{math|1=''σ''({{radic|''α''}}) = −{{radic|''α''}}}} を満たす {{mvar|K}}-同型。 |
* {{mvar|K}} の[[標数]]が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 {{math|(''β'', ''K''({{radic|''α''}})/''K'', ''σ'')}} は {{math|(''α'', ''β'')}}-型[[四元数環]]である。ただし、{{mvar|α}} は {{mvar|K}} の平方元でなく、{{mvar|σ}} は {{math|1=''σ''({{radic|''α''}}) = −{{radic|''α''}}}} を満たす {{mvar|K}}-同型。 |
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* 巡回多元環の[[代数のテンソル積|テンソル積]]は適当な巡回多元環に[[森田同値|ブラウアー同値]]である{{sfn|Jacobson|1996}}{{rp|at={{google books quote|id=gdl-l2ZmcOkC|pg=PA60|text=cyclic+algebra|Theorem 2.6.20(ii)}}}}。 |
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巡回多元環は、2-[[コサイクル]]({{ill2|因子団|en|Factor system}})に対する{{ill2|接合積|en|Factor_system#Crossed_product_algebras}} (crossed product algebra)<ref>{{SpringerEOM|urlnema=Cross_product|title=Cross product}}</ref> と呼ばれる多元環に一般化される(巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である<ref>{{citation|title=The Concise Handbook of Algebra |
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=== 出典 === |
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* {{citation|title= Structure of Algebras| series= American Mathematical Society colloquium publications |volume=24|first= A. A. |last= Albert|author-link=Abraham Adrian Albert|publisher= American Mathematical Soc. |year= 1939|isbn= 9780821810248|ref=harv}} |
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* {{citation|title=Algebra IX: Finite Groups of Lie Type. Finite-Dimensional Division Algebras |series= Encyclopaedia of Mathematical Sciences |issn=0938-0396| first= А. И. |last= Кострикин| author-link=Алексей Иванович Кострикин| publisher=Springer Science & Business Media|year=1996|isbn=9783540570387|ref=harv}} |
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* {{citation|title=Finite-Dimensional Division Algebras Over Fields |series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften S|volume=233|first=N. |last=Jacobson | author-link= Nathan Jacobson |publisher= Springer Science & Business Media |yesr= 1996 |isbn= 9783540570295|ref=harv}} |
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* {{citation|title=Cyclic Division Algebras: A Tool for Space-Time Coding |series= Foundations and trends in communications and information theory |first1= F. |last1= Oggier |first2= J.-C. |last2=Belfiore |first3= E. |last3=Viterbo |publisher= Now Publishers Inc |year= 2007 |
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|isbn= 9781601980502|ref=harv}} |
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== 関連文献 == |
== 関連文献 == |
2019年5月26日 (日) 22:31時点における最新版
数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環(じゅんかいたげんかん、英: cyclic algebra)とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。
定義[編集]
可換体 F 上の多元環 A が巡回多元環であるとは、それが F 上 n-次の正規単純環であって、かつ n-次の巡回部分体を持つときに言う[1]。
具体的に、体の n 次巡回拡大 L/K に対し、そのガロア群 Gal(L/K) の生成元を σ とし、β ∈ K× をとる。β, σ の定める K 上の巡回多元環 (β, L/K, σ) は、n 個の文字 {j0, j1, j2, …, jn−1} を基底に持つ n 次元 L-ベクトル空間 A = Lj0 ⊕ Lj1 ⊕ ⋯ ⊕ Ljn−1 (⊕ は直和) を台となる線型空間とし、A に乗法を一般の元
に対して
と定めたものである。これは j = j1 に対する以下の二条件
- 指数法則 jk ⋅ jl = jk+l を満たす。
- λ ∈ L に対し交換則 j ⋅ x = σ(x)⋅j を満たす。
を線型に拡張したものとして与えられる。特に、j0 = 1A は A の乗法単位元(したがって、L = Lj0 ⊂ A)。また、σ は K の元を動かさない L の非自明な自己同型であるから、K の元は j と可換。これにより A = (β, L/K, σ) が K 上中心的であることが従う。
性質[編集]
- n 次巡回拡大 L/K から定まる n 次巡回多元環の K 上の次数は n2 である。
- 巡回多元環 (β, L/K, σ) は K 上の中心的単純環で L で分解する。すなわち、n次巡回多元環 (β, L/K, σ) と L との K-多元環のテンソル積は L 上 n 次の全行列環 Mat(n, L) に L-多元環同型: である。
- K の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 (β, K(√α)/K, σ) は (α, β)-型四元数環である。ただし、α は K の平方元でなく、σ は σ(√α) = −√α を満たす K-同型。
- 巡回多元環 (β, L/K, σ) は適当な c ∈ L* に対して β = NL/K(c) となるとき行列環 Mn(K) に同型である[2]:133[3](Theorem 2.6.20(i))。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる[4]。
- 二つの巡回多元環 (β, L/K, σ), (γ, L/K, σ) が同型となるための必要十分条件は、L* の適当な元 c が存在して β = γ⋅NL/K(c) と書けることである[2]:133。
- 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である[3](Theorem 2.6.20(ii))。
- 体の分離拡大に関するブラウアー群(あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子[5])の元(ブラウアー同値類)の代表元として接合積(とくに巡回多元環)がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras)
一般化[編集]
巡回多元環は、2-コサイクル(因子団)に対する接合積 (crossed product algebra)[6] と呼ばれる多元環に一般化される(巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である[7]:textcyclic+algebra)。接合積は群環の一般化でもある。
注[編集]
注釈[編集]
出典[編集]
- ^ Albert 1939, p. 74.
- ^ a b Кострикин 1996.
- ^ a b Jacobson 1996.
- ^ Oggier, Belfiore & Viterbo 2007, p. 57.
- ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Schur multiplicator”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, Schur multiplier in nLab
- ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Cross product”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter, eds. (2002), The Concise Handbook of Algebra, Springer Science & Business Media, ISBN 9780792370727
参考文献[編集]
- Albert, A. A. (1939), Structure of Algebras, American Mathematical Society colloquium publications, 24, American Mathematical Soc., ISBN 9780821810248
- Кострикин, А. И. (1996), Algebra IX: Finite Groups of Lie Type. Finite-Dimensional Division Algebras, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570387, ISSN 0938-0396
- Jacobson, N., Finite-Dimensional Division Algebras Over Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften S, 233, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570295
- Oggier, F.; Belfiore, J.-C.; Viterbo, E. (2007), Cyclic Division Algebras: A Tool for Space-Time Coding, Foundations and trends in communications and information theory, Now Publishers Inc, ISBN 9781601980502
関連文献[編集]
- Albert, A. A. (1938), “On Cyclic Algebras”, Annals of Mathematics Second Series (Mathematics Department, Princeton University) 39 (3): 669-682, doi:10.2307/1968641