ヴェイユ予想

ヴェイユ予想(Weil conjectures)は、有限体上の代数多様体の上にある点を数えることから導出される（合同ゼータ函数として知られる）母函数についての、非常に広い範囲に影響のある提案で、André Weil (1949)によりなされた。

q 個の元を持つ有限体上の多様体 V は、q^k 個の元を持つ全ての有限体の点と同様に、有限個の有理点(rational point)を持っている。母函数は、q^k の元を持つ(本質的には一意的な）体上の数 N_k から導出される係数を持っている。

ヴェイユは、そのようなゼータ函数は有理函数であり、函数等式の形を満たし、ゼロ点が限られたな諸にあるはずであることを予想した。最後の 2つの点はリーマンゼータ函数やリーマン予想でモデル化されたものと非常によく似ている。有理性はDwork (1960)により証明され、函数等式はGrothendieck (1965)により証明され、リーマン予想の類似はDeligne (1974)により証明された。

ヴェイユ予想

(1) 有理数多項式:$P_{0}(t)P_{1}(t),...,P_{2n}(t)$が存在して

$\zeta (X,t)={P_{1}(t)P_{3}(t)...P_{2n-1}(t) \over P_{0}(t)P_{2}(t)...P_{2n}(t)}$

そして$P_{i}(t)$はi次元ベッチ数$b_{i}$に等しい。

(2)

$\zeta (X,{1 \over q^{n}t})=\pm (qt^{2})^{{\chi \over 2}(X)}\zeta (X,t)$

ここで$\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+...+b_{2n}$

(3)

$P_{i}(t)=\prod _{j=1}^{b_{i}}(1-{\alpha }_{ij}t)$

と因数分解したとき

$|{\alpha }_{ij}|=q^{i \over 2}$

が成立する。

(1)はドゥワークによって、(2)はグロタンディークによって、(3)はドリーニュによって証明された。

関連項目

• エタール・コホモロジー
• ラマヌジャン予想

==参考文献

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