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ランダム行列(英語: Random Matrix)とは、行列要素 h_j,k がなんらかの確率法則あるいは確率分布 P に従う乱数として与えられると仮定する行列モデル。また、ランダム行列に関する理論をランダム行列理論(英語: RMT)という。ランダム行列は、ユージン・ウィグナーにより固有値や固有値の間隔の分布の統計的性質、それらの普遍性(Universality)やその要因などを研究する目的で導入された。現在では核物理学のほかに、量子カオス、固体物理学、統計力学、数論、生態学、金融工学、無線工学、複雑ネットワークなどの研究で応用されている。

代表的なランダム行列

ガウス型アンサンブル

1962年３つのガウス型アンサンブルがフリーマン・ダイソンにより導入された。^[1] それらはダイソン指数と対称性により以下のように分類される。これらは最もよく研究されている代表的なランダム行列であり、行列要素の確率分布にガウス分布を使用しているのでガウス型と呼ばれる。

ガウス型アンサンブルの自由度と対称性
ガウス型アンサンブル	ダイソン指数	時間反転対称性 (TR:Time-Reversal)	空間回転対称性 (SR:Space-Rotation)	行列H	自己同型群
GOE 直交アンサンブル	β=1	○	○	実数対称行列	O(n) Orthogonal
GUE ユニタリーアンサンブル	β=2	×	○または×	複素数エルミート行列	U(n) Unitary
GSE 斜交アンサンブル	β=4	○	×	四元数自己双対行列 (self-dual)	Sp(n) Symplectic

ダイソン指数(β) - 英語: dyson index

行列要素の自由度(次元)、すなわち行列要素を決定する独立な確率変数の数。例えば複素数なら実部と虚部の2つとなる。βとして表記されることが多い。

時間反転対称性

物理学における時間反転対称性は反ユニタリー対称性と等しくなる。それゆえ時間反転対称性を有するアンサンブルは反ユニタリー対称性の制約を満たさなければならない。 w:en:T-symmetry参照。

自己同型群

アンサンブルの対称性を表す。ランダム行列はこれら自己同型群の(共役)作用に対して不変である。すなわち自己同型群である任意の行列 Uに対して、ランダム行列 Hは U H U^-1 = H を常に満たす。行列の相似、群作用参照。

行列の同時確率密度関数

固有値の同時確率密度関数

固有値間隔の同時確率密度関数

円アンサンブル

英語: Circular ensemble

Wigner行列

英語: Wigner matrix

1950年代にウィグナーが導入したN×N実対称行列(あるいはエルミート行列)。

Wishart行列

普遍性

英語: Universalities and conjectures

(原子核のエネルギー準位に対応する)「固有値」の分布や(エネルギー準位間隔に対応する)「固有値間隔」の分布などの統計的性質は、行列要素の個々の値やそれらが従っている確率法則あるいは確率分布に依存せず、アンサンブルの対称性などで構成される普遍性クラスにより決定される統計的性質を普遍性という。なおまだ検証されていないものについては予想(英: Conjecture)と言われる。行列のサイズが無限大に近づくなど極限における統計的性質がよく研究されている。

固有値分布

英語: density distribution of eigenvalues

ウィグナーの半円則

英語: Wigner's Semicircle Law

行列モデルがGOEの場合、行列サイズを非常に大きくしていくと、その固有値の分布スペクトルはウィグナー半円分布へと近づいていく。

Marchenko–Pastur 分布

英語: Marchenko–Pastur distribution

Wishart行列における固有値の分布スペクトルはウィグナー半円分布ではなくMarchenko–Pastur 分布に近づいていく。

Tracy–Widom 分布

英語: Tracy–Widom distribution

ランダム・エルミート行列の最大固有値分布はTracy–Widom 分布に従う。

固有値の間隔分布

英語: density distribution of spacing

2つの異なる固有値の間隔に関するの分布。なかでも固有値を大きさ順に並べたときに連続する2つの固有値λの間隔 s = |λ_i+1 - λ_i| である最近接間隔分布(英: nearest neighbor spacing distribution)についての研究が有名。

固有値に相関がない場合

固有値の値と固有値の間隔に相関がなく独立していると仮定すると、固有値の最近接間隔分布はポアソン分布になる。Mandan Lal Mehta 2004, p. 11-12

ウィグナー予想

英語: Wigner surmise

モンゴメリ-オドリズコ予想

英語: Montgomery-Odlyzko law

1973年に立てられた予想。リーマンゼータ関数の自明でない零点の間隔の分布は、ランダム行列(GUE)の固有値間隔の分布と統計的に同一であるとするもの。

参考文献

Peter J. Forrester, Log-Gases and Random Matrices (2010 ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0
Fritz Haake, Quantum Signatures of Chaos (second edition 2001 (corrected second printing 2004) ed.), Springer Verlag, ISBN 3-540-67723-2
Mandan Lal Mehta (2004), Random Matrices (first edition 2004 ed.), Elsevier ltd., ISBN 0-12-088409-7
Gordon Blower (October 2009), Random Matrices: High Dimensional Phenomena, London Mathematical Society - Lecture note series (No.367), CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ISBN 978-0-521-13312-8

脚注

^ Freeman J. Dyson (1962). “The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics” (　). Journal of Mathematical Physics (The American Institute of Physics) 3 (6): 1199. エラー: 不正なDOI指定です. ISSN 1089-7658 2013年2月8日閲覧。. J. Math. Phys. 3, 1199 (1962); http://dx.doi.org/10.1063/1.1703863 (17 pages)

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 {{Physics-stub}}
-'''ランダム行列'''({{lang-en|Random Matrix}})とは、行列要素 '''X<sub>i,j</sub>''' がなんらかの確率法則あるいは確率分布 '''P''' に従う乱数として与えられると仮定する行列モデル。また、ランダム行列に関する理論をランダム行列理論({{lang-en|RMT}})という。ランダム行列は、[[ユージン・ウィグナー]]により[[固有値]]や固有値の間隔の分布の統計的性質、それらの普遍性(Universality)やその要因などを研究する目的で導入された。現在では[[核物理学]]のほかに、量子カオス、[[固体物理学]]、 [[統計力学]]、 [[数論]]、[[生態学]]、[[金融工学]]、[[無線工学]]、[[複雑ネットワーク]]などの研究で応用されている。
+'''ランダム行列'''({{lang-en|Random Matrix}})とは、行列要素 '''h<sub>j,k</sub>''' がなんらかの確率法則あるいは確率分布 '''P''' に従う乱数として与えられると仮定する行列モデル。また、ランダム行列に関する理論をランダム行列理論({{lang-en|RMT}})という。ランダム行列は、[[ユージン・ウィグナー]]により[[固有値]]や固有値の間隔の分布の統計的性質、それらの普遍性(Universality)やその要因などを研究する目的で導入された。現在では[[核物理学]]のほかに、量子カオス、[[固体物理学]]、 [[統計力学]]、 [[数論]]、[[生態学]]、[[金融工学]]、[[無線工学]]、[[複雑ネットワーク]]などの研究で応用されている。
 =代表的なランダム行列=
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 |+ ガウス型アンサンブルの自由度と対称性
-!ガウス型アンサンブル !! ダイソン<br>指数 !! 時間反転対称性<br>(TR:Time-Reversal) !! 空間回転対称性<br>(SR:Space-Rotation) !! 行列 !! 自己同型群
+!ガウス型アンサンブル !! ダイソン<br>指数 !! 時間反転対称性<br>(TR:Time-Reversal) !! 空間回転対称性<br>(SR:Space-Rotation) !! 行列'''H''' !! 自己同型群
 |-
 | GOE 直交アンサンブル || β=1 || ○ || ○ || 実数<br>対称行列 || [[直交群|O(n)<br>Orthogonal]]
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 *自己同型群
 アンサンブルの対称性を表す。ランダム行列はこれら自己同型群の(共役)作用に対して不変である。
-すなわち自己同型群をあらわす行列 '''U'''に対して、ランダム行列 '''X'''は '''U<sup>t</sup> X U = X''' を満たす。
+すなわち自己同型群である任意の行列 '''U'''に対して、ランダム行列 '''H'''は '''U H U<sup>-1</sup> = H''' を常に満たす。
 [[行列の相似]]、[[群作用]]参照。
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+===固有値間隔の同時確率密度関数===
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+年代にウィグナーが導入したN×N実対称行列(あるいはエルミート行列)。
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+(原子核のエネルギー準位に対応する)「固有値」の分布や(エネルギー準位間隔に対応する)「固有値間隔」の分布などの統計的性質は、行列要素の個々の値やそれらが従っている確率法則あるいは確率分布に依存せず、アンサンブルの対称性などで構成される普遍性クラスにより決定される統計的性質を普遍性という。なおまだ検証されていないものについては予想({{lang-en-short|Conjecture}})と言われる。行列のサイズが無限大に近づくなど極限における統計的性質がよく研究されている。
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+なかでも固有値を大きさ順に並べたときに連続する2つの固有値λの間隔 s = |λ<sub>i+1</sub> - λ<sub>i</sub>| である最近接間隔分布({{lang-en-short|nearest neighbor spacing distribution}})についての研究が有名。
+===固有値に相関がない場合===
+固有値の値と固有値の間隔に相関がなく独立していると仮定すると、固有値の最近接間隔分布はポアソン分布になる。{{Harvnb|Mandan Lal Mehta|2004|p=11-12}}
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+年に立てられた予想。リーマン[[ゼータ関数]]の自明でない零点の間隔の分布は、ランダム行列('''GUE''')の固有値間隔の分布と統計的に同一であるとするもの。
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+* {{Cite
+  | author = Mandan Lal Mehta
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 * {{Cite
   | author = Gordon Blower
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   | isbn = 978-0-521-13312-8
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+*[[ダイソンのブラウン運動]] ({{lang-en|Dyson's Brownian motion}})