区分的

数学における区分定義写像（くぶんていぎしゃぞう、英: piecewise-defined function; 区分的に定義された函数）あるいは区分（ごとの）写像 (piecewise function)、混成写像 (hybrid function) は、その定義域の分割した各小片（定義域片）上で定義された複数の写像片の寄せ集めとして定義される写像である。区分ごとに考えるというのは写像そのものの性質ではなく実際には表示法を言っているのであるが、適当な仮定を追加して写像の性質を記述することに利用できる。例えば、区分多項式函数と言えば、定義域の各小片において多項式函数となるが全体としてはそうでないかもしれない函数も含まれ得る。

「区分的」という修辞は区分的に定義された写像が、各小片において満たすが全体としては必ずしも満たさないというような性質を記述するのにも用いられる。たとえば、区分的に微分可能や区分的に連続的微分可能な函数は、定義域片 (subdomain) 上ではいずれも微分可能だが、全体としては定義域片の境界で微分可能でないことが起こり得る。凸解析では微分係数の概念は区分定義函数の劣微分に置き換えられる。区分的な定義において、定義域の「小片」は一般には区間であることは要求されないが、しかし一変数函数に対して「区分的に一次」や「区分的に連続」、「区分的に微分可能」といった概念は、小片が区間である場合にのみ意味がある。

記法と解釈

絶対値函数のグラフ

区分的に定義された写像は、定義域片とその上で定義された写像片の集まりとして全体を構成すること以外は、通常の写像の記法に則って記述することができる。著しいのは実用上の大半においてそうであるように、定義域が「有限個」の「区間」に分割される場合を指して「区分的」と言う場合である。例えば、絶対値函数の区分的な定義

$|x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$

を考える。零より小さな任意の値の x に対しては一行目の函数 −x が適用されて、負号によって符号が反転されて負数は正数になる。零以上の任意の値の x に対しては二行目の函数 x が適用されて、入力された値は自明に評価されて入力それ自身を出力する。

このように、区分的に定義された写像において、特定の x における値を評価しようと考える場合には、与えられた入力に対してそれがどの定義域片に属するかを適切に選ぶことが、どの写像片を適用して出力を得るべきかを正しく知るために必要である。

連続性

x₀ の両側で異なる二次函数を接いだ区分定義函数。

区分定義函数が与えられた区間において連続であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

• 函数はその区間全体で定義されている
• 函数を定義する函数片がその区間において連続
• その区間に含まれる定義域片のどの端点も函数の不連続点でない

例えば図の函数はふたつの定義域片の何れでも連続となる区分連続な函数だが、x₀ で跳躍不連続ゆえ、定義域全体では連続でない。

よくある例

• 絶対値
• 階段函数
• 区分一次函数
• 区分的可微分函数
• 符号函数
• スプライン曲線
• B-スプライン曲線