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2013年2月2日 (土) 04:21時点における版
微分幾何学 では n 次元(擬)リーマン多様体上のコットンテンソル (英語:Cotton tensor)は、ワイルテンソル (英語版 ) のように、計量 に伴う3階のテンソル場 である.n ≥4 のときのワイルテンソルがそうである(多様体が共形平坦となることと同値)ように、n=3 の場合には、コットンテンソルがゼロになることと、多様体が共形平坦 (英語版 ) であることとは同値である.n <3 に対し、コットンテンソルは恒等的にゼロである.この命名はエミール・コットン (英語版 ) にちなんでいる.
n = 3 の場合のコットンテンソルがゼロとなることと計量が共形平坦となるという古典的な結果の証明は、アイゼンハルト (英語版 ) により標準的な可積分性 の議論をもちいてなされました.このテンソル密度 (英語版 ) は、任意の計量に対して微分可能であるという要求と結びついた共形性という性質により一意に特徴づけられることが、(Aldersley 1899 )により示されました.
最近、3-次元空間の研究では非常に注目されている.その理由は、コットンテンソルはアインシュタイン方程式 の中で物資のエネルギー・モーメントテンソル (英語版 ) とリッチテンソル の間の関係を制限し、一般相対論 のハミルトニアン定式化 で重要な役割を果たすからである.
定義
座標を使って R ij でリッチテンソル を表し、R でスカラー曲率 を表すと、コットンテンソルの成分は、
C
i
j
k
=
∇
k
R
i
j
−
∇
j
R
i
k
+
1
2
(
n
−
1
)
(
∇
j
R
g
i
k
−
∇
k
R
g
i
j
)
.
{\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}
となります.コットンテンソルは2-形式 に値を持つべクトルとみなすことができて、n = 3 に対してはホッジスター作用素 (英語版 ) を使い、これを2階のトレースがゼロとなる自由テンソル密度
C
i
j
=
∇
k
(
R
l
i
−
1
4
R
g
l
i
)
ϵ
k
l
j
,
{\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}
へ変換することができる.これをコットン・ヨークテンソル と呼ぶこともある.
性質
共形りスケーリング
あるスカラー函数
ω
{\displaystyle \omega }
が存在して、計量
g
~
=
e
2
ω
g
{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}
の共形スケーリングの下では、{{仮リンク|クリスとフェルの記号|en|Christoffel symbol]](英語:Christoffel symbols)は次のように変換する.
Γ
~
β
γ
α
=
Γ
β
γ
α
+
S
β
γ
α
{\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}
ここに
S
β
γ
α
{\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }}
は
S
β
γ
α
=
δ
μ
λ
∂
β
ω
+
δ
β
λ
∂
μ
ω
−
g
β
μ
∂
λ
ω
{\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\mu }^{\lambda }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\lambda }\partial _{\mu }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega }
のテンソルである.リーマン曲率テンソル は次のように変換される.
R
~
λ
μ
α
β
=
R
λ
μ
α
β
+
∇
α
S
β
μ
λ
−
∇
β
S
α
μ
λ
+
S
α
ρ
λ
S
β
μ
ρ
−
S
β
ρ
λ
S
α
μ
ρ
{\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}
n
{\displaystyle n}
-次元多様体では、リッチテンソル は]]は縮約したRiemannテンソルで表すことで、次の式のようになることが分かります.
R
~
β
μ
=
R
β
μ
−
g
β
μ
∇
α
∂
α
ω
−
(
n
−
2
)
∇
μ
∂
β
ω
+
(
n
−
2
)
(
∂
μ
ω
∂
β
ω
−
g
β
μ
∂
λ
ω
∂
λ
ω
)
{\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}
同様に、リッチスカラー(スカラー曲率)は次のように変換される.
R
~
=
e
−
2
ω
R
−
2
e
−
2
ω
(
n
−
1
)
∇
α
∂
α
ω
−
(
n
−
2
)
(
n
−
1
)
e
−
2
ω
∂
λ
ω
∂
λ
ω
{\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }
これらの事実を互いに組み合わせると、コットン・ヨークテンソルは次のように変換されると結論づけられる.
C
~
α
β
γ
=
C
α
β
γ
+
(
n
−
2
)
∂
λ
ω
W
β
γ
α
λ
{\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}
あるいは、座標とは独立な記述をするならば、
C
~
=
C
+
grad
ω
⌟
W
,
{\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}
となる.右辺の勾配(gradient)の部分はワイルテンソル (英語版 ) W の対称性を保つ部分との内積を取ることを意味する.
対称性
コットンテンソルは対称性
C
i
j
k
=
−
C
i
k
j
{\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}\,}
を持ち、従って、
C
[
i
j
k
]
=
0.
{\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}
となる.加えて、ワイルテンソルについてのビアンキ公式は次のように書くことができる.
δ
W
=
(
3
−
n
)
C
,
{\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}
ここに
δ
{\displaystyle \delta }
は W の第一成分の正の発散(divergence)である.
参考文献
Aldersley, S. J. (1979). “Comments on certain divergence-free tensor densities in a 3-space”. Journal of Mathematical Physics 20 (9): 1905–1907. Bibcode : 1979JMP....20.1905A . doi :10.1063/1.524289 .
Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General Relativity and the Einstein Equations . Oxford, England: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923072-3
Cotton, É. (1899). “Sur les variétés à trois dimensions ” . Ann. Fac. Sci. Toulouse . II 1 (4): 385–438. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AFST_1899_2_1_4_385_0 .
Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Riemannian Geometry . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08026-7
A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias, "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes." Class.Quant.Grav. 21 (2004) 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008