斜交座標系

斜交座標系（2次元）

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系

2本の数直線x 、y が定点Oを共通の原点として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。 逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角θがθ = 90°のときは直交座標系となる。

直交座標系との座標変換

斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に座標変換する公式は以下である：

${\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\0&\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

内積

直交座標系の場合は、2つのベクトル${\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2})$の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

${\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{1}u_{2}+(u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1})\cos \theta +v_{1}v_{2}\\&={\begin{pmatrix}u_{1}&u_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ここで右辺に現れる行列は、計量テンソルに一般化される。

関連項目

• 直交座標系
• 極座標系