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数学における中心二項係数(ちゅうしんにこうけいすう、英: Central binomial coefficient)は、n番目の中心二項係数を
![{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f3ddc7fe94a83c711046e60b3954b11feac421)
とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。
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中心二項係数の n ≧ 0 の値は
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000984)
- パスカル行列では、対角線に沿って表示される。
![{\displaystyle A_{10,10}={\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d7c2135ef7e20799cd4aa0e005fa5b70387720)
属関数は中心二項係数に適用される。
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2281cf1b6671568449684ee8f8a5818871c1c06)
ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。
![{\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\quad (n\rightarrow \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df46e03475d28f9f9bef2598178962a776968fa7)
最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。
単純な境界は次のように与えられる。
![{\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n},\qquad (n\geq 1)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18853de13f3ab61fd60390a79ac55d0ed86fadd9)
より良い境界は次のとおり:
![{\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}},\qquad (n\geq 1)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e7ed72dd360b85e4bf566d93d8ba458c20d73c)
そして、さらに高い精度が必要な場合:
![{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70806806f254aade1febdb0c4b49561fc64eaf46)
![{\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}},\qquad (n\geq 1)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb06fc0e4267ca5d356d62e82d724ec35c8b274)
奇数の中心二項係数は 1 だけである。[1]
関連する数[編集]
n番目のカタラン数を Cn とすると
![{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3203461d9e8e4396a2eb35103f6aa3d0dcbbc8f9)
中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。
![{\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c024fb70f3a24275716b27c38dab91b7625978)
n は実数で、ここで
はガンマ関数、
はベータ関数である。
その他の性質[編集]
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98011e219a71fdf69080f5c90378ca19b80194c)
はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。
![{\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fb0b4822a8ccab730f98301782ad4cea22cd64)
- ^ Banakh, Iryna; Banakh, Taras; Plichko, Anatolij; Prykarpatsky, Anatoliy (2012-01-01). “On local convexity of nonlinear mappings between Banach spaces”. Open Mathematics 10 (6). doi:10.2478/s11533-012-0101-z. ISSN 2391-5455. https://doi.org/10.2478/s11533-012-0101-z.
関連項目[編集]