ラメ函数

数学の分野におけるラメ函数（ラメかんすう、英: Lamé function）あるいは楕円型調和函数（ellipsoidal harmonic function）とは、二階の常微分方程式の一つとして知られるラメの方程式（Lamé's equation）の解である。論文 (Gabriel Lamé 1837) において初めて考えられた。ラメの方程式は、楕円座標（英語版）でのラプラス方程式に対して適用される変数分離法にあらわれる。いくつかの特別な場合では、解をラメ多項式（Lamé polynomials）と呼ばれる多項式によって表現することが出来る。

ラメ函数についての詳細な議論は (Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus & Fritz Oberhettinger et al. 1955, Chapter XV) に見られる。

ラメの方程式とは次のようなものである。

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=(A+B\wp (x))y.

ここで A と B は定数で、 $\wp$ はヴァイエルシュトラスの楕円函数である。最も重要なケースでは、自然数 n に対して B は n(n + 1) で与えられ、このとき解は複素平面全体で定義される有理型関数となる。B が他の値を取る際には、解は分岐点を持つ。

独立変数を変えることで、ラメの方程式を次のような代数形式で記述することが出来る。

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}={\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y.

これに対しある変数変換を行うことで、ホインの方程式の特別な場合を導くことが出来る。

参考文献

Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions, Bateman Manuscript Project, Vol. III, New York–Toronto–London: McGraw-Hill, pp. XVII + 292, MR 0066496, Zbl 0064.06302 .
Lamé, G. (1837), “Sur les surfaces isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température”, Journal de mathématiques pures et appliquées 2: 147–188 . Available at Gallica.
Rozov, N. Kh. (2001), “Lamé equation”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Rozov, N. Kh. (2001), “Lamé function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Volkmer, H. (2010), “ラメ函数”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/29