ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。

内容

L を R ⁿ 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が $2^{n}d(L)$ より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。

特に体積が 2ⁿ より大きい、原点に関して対称な Rⁿ 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。

証明

R ⁿ の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。 まず、次のBlichfeldtの定理から証明する。

Blichfeldt の定理

S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり

$\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\backslash \{0\}$

となる $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S$ がとれる。これは次のように証明できる。

L の基底 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ をとり

$F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n},0\leq a_{i}<1\}$

をこの基底に対する L の基本領域とすると

$V(F)=d(L)$

が成り立つ。

$\mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}$

に対して

$f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}$

を対応させる。 f は R ⁿ から F への写像で、

$f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L$

が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば $V(f(S))=V(S)$ となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから

$V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))$

となる。よって f は S 上単射ではないので

$f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})$

となる点 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S$ がとれる。

$f(\mathbf {v_{1}} )-\mathbf {v_{1}} ,f(\mathbf {v_{2}} )-\mathbf {v_{2}} \in L$

だから

$\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in S,\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \in L$

である。

ミンコフスキーの定理の証明

S を Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が $2^{n}d(L)$ より大きい凸集合とする。

$T={\frac {1}{2}}S=\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in S\}$

とおく。$V(S)>2^{n}d(L)$ だから $V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)$ なので Blichfeldtの定理より

$\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}$

となる2点 $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T$ がとれる。 $\mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S$ が成り立ち、 S は原点に関して対称だから $\mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S$ も成り立つ。 S は凸集合なので $\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S$ である。一方で

${\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}$

であるから S は原点とは異なる L 上の点 $\mathbf {v}$ を有する。

系

ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。

$l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}(i=1,2,\ldots ,n)$

を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l₁, l₂, ..., l_r は実係数を持ち、 l _{r +j} と l _{r +s +j} ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。

ここで k₁, k₂, ..., k_{r +s} が実数で

$k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |$

を満たすならば、

$|l_{i}|\leq k_{i}(i=1,2,\ldots ,r+s)$

となる整数 x₁, x₂, ..., x_n が存在する。

また k₁, k₂, ..., k_{r +s} が実数で

$k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |$

を満たすならば、

$\prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |$

となる整数 x₁, x₂, ..., x_n が存在する。

応用

ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。

ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが

$\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |$

を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。

二平方定理の証明

上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。 実際 p を $4n+1$ の形の素数とすると

$t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$

となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。

$y\equiv tx{\pmod {p}}$

となる点 $(x,y)$ 全体は $(1,t),(0,p)$ を基底とする格子 L と一致し、$d(L)=p$ が成り立つ。 原点を中心とする半径 ${\sqrt {2p}}$ の開円盤は面積 $2\pi p>4p$ の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 $(a,b)$ を含む。

$b\equiv ta{\pmod {p}}$

であるから

$a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}$

である。一方 $(a,b)$ は原点ではなく、かつ原点からの距離は ${\sqrt {2p}}$ より小さいから

$0<a^{2}+b^{2}<2p$

である。よって

$p=a^{2}+b^{2}$

が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。

関連項目

• 数の幾何学
• 離散幾何学
• 球充填

参考文献

• J. W. S. Cassels, (1959, 1971, 1997). An Introduction to the Geometry of Numbers,. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62035-5. ISBN 978-3-642-62035-5 
• John Conway and Neil J. A. Sloane, (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 978-1-4757-6568-7 
• Hancock, Harris (1964, 2005). Development of the Minkowski Geometry of Numbers, vol I, II. Dover （旧版 The MacMillan, 1939） 
• Pascale Gruber and C. G. Lekkerkerker (1987). Geometry of Numbers. Elsevier. ISBN 9780080960234 
• Melvyn B. Nathanson, (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94655-9 
• Wolfgang M. Schmidt, (1980). Diophantine approximation (Lecture Notes in Math. 785). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 978-3-540-38645-2 
• Wolfgang M. Schmidt, (1991). Diophantine Approximations and Diophantine Equations (Lecture Notes in Math. 1467). Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0098246. ISBN 978-3-540-47374-9