フールマン三角形
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Fuhrmann_triangle.svg/220px-Fuhrmann_triangle.svg.png)
弧の中点: Ma,Mb,Mc
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Fuhrmann_triangle2.svg/220px-Fuhrmann_triangle2.svg.png)
△M'aM'bM'c
△MaMbMc~△M'aM'bM'c
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Fuhrmann_circle_triangle.svg/300px-Fuhrmann_circle_triangle.svg.png)
フールマン三角形(フールマンさんかくけい、英: Fuhrmann triangle)は、ヴィルヘルム・フールマン (1833–1904)にちなんで名付けられた特別な三角形である[1]。
△ABCについて、その外接円の、それぞれA,B,Cを含まない円弧BC,CA,ABの中点をそれぞれMa,Mb,Mcとする。これらの点を三角形の辺BC,CA,ABで鏡映した点M'a,M'b,M'cが作る三角形をフールマン三角形という[2]。
フールマン三角形の外接円は、フールマン円と呼ばれる。フールマン三角形は弧の中点が成す三角形と逆向きに相似、つまり△MaMbMc~△M'aM'bM'c である[2]。フールマン三角形の面積について、以下の式が成り立つ 。
ここで、 Oは外心、Rは外接円の半径、Iは内心、sは半周長、rは内接円の半径である。右辺はオイラーの定理による変形である。フールマン三角形の辺については以下の式が成り立つ[3]。
ここで、a,b,cは各辺の長さである。
フールマン三角形と、基準三角形の対応は以下のとおりである[3]。
フールマン三角形 | 基準三角形 |
---|---|
外心X3 | フールマン円の中心X355 |
垂心X4 | 内心X1 |
九点円の中心X5 | 九点円の中心X5 |
キーペルト放物線の焦点X110 | 垂心X4 |
ジェラベク双曲線の中心X125 | シュピーカー点X10 |
オイラー線 | IN線(X1とX5を結ぶ線[4]) |
一般化
[編集]△ABCと点Pについて、Pの擬調和三角形を△MaMbMc、BC,CA,ABでMa,Mb,Mcを鏡映した点をM'a,M'b,M'cとする。△M'aM'bM'cをPフールマン三角形(P-Fuhrmann triangle)という[5]。Pの擬調和三角形とフールマン三角形は逆向きに相似である[6]。Pフールマン三角形の外接円はPフールマン円、またはPヘギー円と呼ばれる。Pが内心のときは単にフールマン三角形、フールマン円である。
出典
[編集]- ^ “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Nguyen Thanh Dung. 2024年4月20日閲覧。
- ^ a b Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Fuhrmann triangle". mathworld.wolfram.com (英語). (retrieved 2019-11-12)
- ^ “CENTRAL LINES”. faculty.evansville.edu. 2024年4月20日閲覧。
- ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 X(5613)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月19日閲覧。
- ^ “On a Construction of Hagge”. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith. 2024年4月20日閲覧。