ディニ微分

数学の、特に実解析の分野におけるディニ微分（でぃにびぶん、英: Dini derivative）とは、微分の概念を一般化したある一類の総称である。

定義[編集]

連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる^[1]）は、

f'_{+}(t){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

により定義される。ここで $limsup$ は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は

f'_{-}(t){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

により定義される。ここで $liminf$ は下極限を表す。

f がベクトル空間上で定義される汎函数のときは、t における、方向 d への上側ディニ微分が

f'_{+}(t,d){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}

により定義される。

注意

補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や −∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 $f'_{+}$ は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。