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アーベルの総和公式(アーベルのそうわこうしき、英: Abel's summation formula)は、級数の変形に関する公式の一つである。
部分和分の一種で、級数の大きさの評価に用いられる(この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある)。
数列
と実数
に対し、
その総和を
と定める。
また関数
が
において微分可能とする。このとき
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0355c5a5f72b296f729d4a474a3679a264c4b1)
が成り立つ。
より一般に、
が
において微分可能なとき
![{\displaystyle \sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77edc765d1c75326a5d84946a71ddb3025ba112d)
が成り立つ。
この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。
また、リーマン=スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン=スティルチェス積分を使って
![{\displaystyle \int _{x}^{y}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}Adf}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe7945c4b255c908b6b3891b9690355d7fc26bd)
とも表される。
証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。
調和級数
について、
とおくと
より
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor t\rfloor }{t^{2}}}dt=\log x+1-{\frac {\{x\}}{x}}-\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{2}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bb59594febacd3d1a3f144e83ba7c7cd6ebf06)
が成り立つ。このことから
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f40eac3939643a654ec39f3275fc504148166c5)
となる定数 γ が存在することが分かる。この定数 γ はオイラーの定数といわれる。
参考文献[編集]
外部リンク[編集]