BFモデル

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BFモデル(BF model)は、位相的場の理論であり、量子化したとき、位相的量子場の理論となる。BFモデルは背景場(background field)を基礎としている。B と F は、以下でみるように、理論のラグランジアン(Lagrangian)に現れる変数でもあり、記号的な使い方も有用である。

M は 4-次元微分可能多様体英語版(differentiable manifold)、G はゲージ群であり「力学的」場である2-形式 B として G のリー群の随伴表現に値を持ち、A は G の接続形式である。

作用は、

S=\int_M K[\mathbf{B}\wedge \mathbf{F}]

により与えられる。ここに K は \mathfrak{g}(G が半単純であれば、キリング形式である)上の不変非退化双線型形式であり、F曲率形式

\mathbf{F}\equiv d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge \mathbf{A}

である。

この作用は、微分同相不変であり、ゲージ不変である。作用のオイラー=ラグランジュ方程式は、

\mathbf{F}=0 (曲率が 0 )

d_\mathbf{A}B=0 (B の共変外微分英語版(covariant exterior derivative)が 0 )

である。

実際、任意の局所自由度をゲージ化することは常に可能であり、このことが位相的場の理論と呼ばれる理由である。

しかしながら、M が位相的に非自明であれば、AB が大域的に非自明な解を持つことも可能である。

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