矩形関数

矩形関数（くけいかんすう、英: rectangular function）は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である^[1]。

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}

別の定義では、 $\mathrm {rect} (\pm {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})$ を 0 か 1 にするか、未定義とする。

別表現

\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,

または、

\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)\,

とも表せる。

\operatorname {rect} (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+|2t|^{n}}}

とも表せる。

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)\,

および、

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,

ここで sinc は正規化されたSinc関数である。

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\,

\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,

また、その積率母関数は次のようになる。

M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,

ここで、

\mathrm {sinh} (t)

^ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児訳『フーリエ音響学』シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、8頁。ISBN 4-431-71174-0。