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単位ベクトル （たんい-ベクトル、英 : unit vector ）とは、長さ （ノルム ）が 1 のベクトル の事である。
数学的な記述 二つのベクトル a e e
|
e
|
=
1
{\displaystyle |\mathbf {e} |=1}
θ とおけば、
a
⋅
e
=
|
a
|
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} =|\mathbf {a} |\cos \theta }
a e 内積 の代数的計算に結びつけることができるのである。単位ベクトルは、e
力学 や電磁気などの理工学的な分野などではベクトル r r
r
^
=
r
|
r
|
=
r
r
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}}
などと表す。ここで、
r
=
|
r
|
{\displaystyle r=|\mathbf {r} |}
r
また、曲線や曲面に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えたとき、主な方向へ向かう単位ベクトルとして接線 単位ベクトル（単位接ベクトル）、法線単位ベクトル （単位法ベクトル）、従法線単位ベクトル（単位従法ベクトル）などが挙げられる。そのベクトルの絶対値 が 1 であることを表すために「単位ベクトル」という語が付されている。
n 次元ベクトル空間に基底をとれば座標として数ベクトル空間が現れるから、n 個の一次独立な単位ベクトル
e
1
=
(
1
0
⋮
0
)
,
e
2
=
(
0
1
⋮
0
)
,
…
,
e
n
=
(
0
0
⋮
1
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}
が取れる。
xyz -空間を扱うときには、x , y , z の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i j k r
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
{\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }
と表せる。
大きさや r
|
r
|
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
r
^
=
1
|
r
|
(
x
i
+
y
j
+
z
k
)
=
x
x
2
+
y
2
+
z
2
i
+
y
x
2
+
y
2
+
z
2
j
+
z
x
2
+
y
2
+
z
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {r}} &={\frac {1}{|\mathbf {r} |}}(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\\&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {k} \end{aligned}}}
関連項目 
