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関数解析学 において、ノイマン級数 （ノイマンきゅうすう、英 : Neumann series ）とは、無限級数 によって定義される逆作用素 。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
定義 A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素 とする（A ∈ B(X ））。このとき、A の作用素ノルム ||A ||が||A ||<1を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられるI -A は1対1 で(I -A )-1 が有界作用素として存在するとともに、
(
I
−
A
)
−
1
=
I
+
A
+
A
2
+
A
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
A
n
{\displaystyle {\begin{aligned}(I-A)^{-1}&=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}\end{aligned}}}
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
|
|
(
I
−
A
)
−
1
|
|
≤
1
1
−
|
|
A
|
|
{\displaystyle ||(I-A)^{-1}||\leq {\frac {1}{1-||A||}}}
と評価される。
これは、|x |<1なるx ∈ C についての無限級数
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
の作用素への拡張になっている。
特にz ∈ C と有界作用素A について、|z |>||A ||であれば、レゾルベント作用素 (z I -A )-1 が存在し、
(
z
I
−
A
)
−
1
=
∑
n
=
0
∞
1
z
n
+
1
A
n
{\displaystyle (zI-A)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{n+1}}}A^{n}}
及び
|
|
(
z
I
−
A
)
−
1
|
|
≤
1
|
z
|
1
1
−
|
|
A
|
|
|
z
|
{\displaystyle ||(zI-A)^{-1}||\leq {\frac {1}{|z|}}{\frac {1}{1-{\frac {||A||}{|z|}}}}}
が成り立つ。
逐次近似との関係 バナッハ空間X の元u 、v と線形作用素A で与えられる方程式
u
=
A
u
+
v
{\displaystyle u=Au+v\,}
を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は
(
I
−
A
)
u
=
v
{\displaystyle (I-A)u=v\,}
と変形できることから、逆作用素(I -A )-1 が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
u
=
A
(
A
u
+
v
)
+
v
=
A
2
(
A
u
+
v
)
+
A
v
+
v
=
v
+
A
v
+
⋯
+
A
n
v
+
A
n
+
1
u
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=A(Au+v)+v\\&=A^{2}(Au+v)+Av+v\\&=v+Av+\cdots +A^{n}v+A^{n+1}u\end{aligned}}}
となる。従って、A n+1 u の項が無視できるとすると
u
n
:=
∑
i
=
0
n
A
i
v
{\displaystyle u_{n}:=\sum _{i=0}^{n}A^{i}v}
で定義されるu n が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解u n が真の解となり、
u
=
(
I
−
A
)
−
1
v
=
v
+
A
v
+
A
2
v
+
⋯
{\displaystyle u=(I-A)^{-1}v=v+Av+A^{2}v+\cdots }
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解u n の誤差評価を行うこともでき、
|
|
u
−
u
n
|
|
≤
∑
i
=
n
+
1
∞
|
|
A
|
|
i
⋅
|
|
v
|
|
=
|
|
A
|
|
n
+
1
1
−
|
|
A
|
|
|
|
v
|
|
{\displaystyle ||u-u_{n}||\leq \sum _{i=n+1}^{\infty }||A||^{i}\cdot ||v||={\frac {||A||^{n+1}}{1-||A||}}||v||}
である。
積分方程式への応用 バナッハ空間X を有限区間[a ,b ]上の連続関数 からなる関数空間C([a , b ])とし、
K (x , y )を[a , b ]×[a , b ]で定義された連続関数、f (x )を[a , b ]上の連続関数（f ∈ C([a , b ])）とする。このとき、C([a , b ])）において、フレドホルム型積分方程式
u
(
x
)
−
λ
∫
a
b
K
(
x
,
y
)
u
(
y
)
d
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle u(x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)u(y)dy=f(x)}
を考える。ここで、
K
u
:=
∫
a
b
K
(
x
,
y
)
u
(
y
)
d
y
{\displaystyle Ku:=\int _{a}^{b}K(x,y)u(y)dy}
としたときに、|λ|・||K || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、
u
=
(
1
−
λ
K
)
−
1
f
=
f
+
λ
K
f
+
λ
2
K
2
f
+
⋯
=
f
(
x
)
+
λ
∫
a
b
K
(
x
,
y
)
f
(
y
)
d
y
+
λ
2
∫
a
b
(
∫
a
b
K
(
x
,
y
)
K
(
z
,
y
)
d
z
)
f
(
y
)
d
y
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=(1-\lambda K)^{-1}f\\&=f+\lambda Kf+\lambda ^{2}K^{2}f+\cdots \\&=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)dy+\lambda ^{2}\int _{a}^{b}{\biggl (}\int _{a}^{b}K(x,y)K(z,y)dz{\biggr )}f(y)dy+\cdots \end{aligned}}}
と表すことができる。
参考文献 関連項目 
