ノイマン級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

関数解析学において、ノイマン級数(ノイマンきゅうすう、: Neumann series)とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

定義[編集]

Aバナッハ空間X での有界な線形作用素とする(A ∈ B(X ))。このとき、A作用素ノルム||A ||が||A ||<1を満たすならば、恒等作用素I との差で与えられるI -A1対1で(I -A )-1が有界作用素として存在するとともに、

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

と評価される。

これは、|x |<1なるx ∈ Cについての無限級数

の作用素への拡張になっている。

特にzCと有界作用素A について、|z |>||A ||であれば、レゾルベント作用素(z I -A )-1が存在し、

及び

が成り立つ。

逐次近似との関係[編集]

バナッハ空間X の元uv と線形作用素A で与えられる方程式

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

と変形できることから、逆作用素(I -A )-1が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

となる。従って、An+1u の項が無視できるとすると

で定義されるunが逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解unが真の解となり、

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解unの誤差評価を行うこともでき、

である。

積分方程式への応用[編集]

バナッハ空間X を有限区間[a,b ]上の連続関数からなる関数空間C([a, b ])とし、 K (x, y )を[a, b ]×[a, b ]で定義された連続関数、f (x )を[a, b ]上の連続関数(f ∈ C([a, b ]))とする。このとき、C([a, b ]))において、フレドホルム型積分方程式

を考える。ここで、

としたときに、|λ|・||K || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、

と表すことができる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]