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関数解析学において、ノイマン級数(ノイマンきゅうすう、英: Neumann series)とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素とする(A ∈ B(X))。このとき、A の作用素ノルム ||A|| が ||A|| < 1 を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられる I − A は1対1で (I − A)−1 が有界作用素として存在するとともに、
![{\displaystyle {\begin{aligned}(I-A)^{-1}&=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f61d53a6f9eefa02e232dec35b4556f6b26a6c)
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
![{\displaystyle \|(I-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{1-\|A\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44268d7c1d6fe468c2a45cf231e030e1d0647c3)
と評価される。
これは、|x| < 1 なる x ∈ C についての等比級数
![{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f1a5bf8703c75966ad31a998b6e8a03f6d7cb7)
の作用素への拡張になっている。
特に z ∈ C と有界作用素 A について、|z| > ||A|| であれば、レゾルベント作用素 (zI − A)−1 が存在し、
![{\displaystyle (zI-A)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{n+1}}}A^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fb8ffc9d5d9fa5acd21ae1ccfb1949b19f2a84)
および
![{\displaystyle \|(zI-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{|z|}}{\frac {1}{1-{\frac {\|A\|}{|z|}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cb69db4903f0c4b16a77ccc92da7d220bc2fa0)
が成り立つ。
逐次近似との関係[編集]
バナッハ空間 X の元u、v と線形作用素 A で与えられる方程式
![{\displaystyle u=Au+v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41eb658013681a9939e0238735bf9910dac8e2c7)
を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は
![{\displaystyle (I-A)u=v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db74ce92ac173c17fd57dcfec41d56855907a6a2)
と変形できることから、逆作用素 (I − A)−1 が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=A(Au+v)+v\\&=A^{2}(Au+v)+Av+v\\&=v+Av+\cdots +A^{n}v+A^{n+1}u\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de03e5d41d5b4ff7737c5222ff92b6be9bb08ced)
となる。従って、An+1u の項が無視できるとすると
![{\displaystyle u_{n}:=\sum _{i=0}^{n}A^{i}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fc68776047eaddf316c0906ec72e0f4528c3e5)
で定義される un が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n → ∞ で逐次近似解 un が真の解となり、
![{\displaystyle u=(I-A)^{-1}v=v+Av+A^{2}v+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3809b7580b9cc02de0dde098b2685df35d07eb5)
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 un の誤差評価を行うこともでき、
![{\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq \sum _{i=n+1}^{\infty }\|A\|^{i}\cdot \|v\|={\frac {\|A\|^{n+1}}{1-\|A\|}}\|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c1322e1a885084954d58fc393914194010a463)
である。
積分方程式への応用[編集]
バナッハ空間 X を有限区間 [a, b] 上の連続関数からなる関数空間 C([a, b]) とし、
K (x, y) を [a, b] × [a, b] で定義された連続関数、f(x) を [a, b] 上の連続関数(f ∈ C([a, b]))とする。このとき、C([a, b]) において、フレドホルム型積分方程式
![{\displaystyle u(x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)u(y){\,}dy=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb63c17445dea0d5561b34ee02fc91a7bfafda05)
を考える。ここで、
![{\displaystyle Ku:=\int _{a}^{b}K(x,y)u(y){\,}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7069e3676ecefe669fbfe67a8a9b33c8a23c502)
としたときに、|λ|・||K|| < 1 の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=(1-\lambda K)^{-1}f\\&=f+\lambda Kf+\lambda ^{2}K^{2}f+\cdots \\&=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y){\,}dy+\lambda ^{2}\int _{a}^{b}{\biggl (}\int _{a}^{b}K(x,y)K(z,y){\,}dz{\biggr )}f(y){\,}dy+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e87da87fa0e60a8f86917e5170e543f7bc82b63)
と表すことができる。
参考文献[編集]
関連項目[編集]