離散ウェーブレット変換

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離散ウェーブレット変換(りさんウェーブレットへんかん、: Discrete wavelet transform, DWT)は、数値解析関数解析において、離散的にサンプリングされたウェーブレットを用いたウェーブレット変換アルゴリズムである。本来は異なる物だが、多くのソフトウェアでは多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼んでいる。本項では本来の定義の方をふれ、多重解像度解析に関してはそちらの項目を参照。

概要[編集]

最初の離散ウェーブレット変換は、ハンガリーの数学者アルフレッド・ハール英語版によって示された。ハールウェーブレットによる多重解像度解析は、2^n の長さを持つ数列が入力されると、隣接した値の差分と和を求めるものである。この処理は再帰的に行われ、和の数列は次の処理の入力となる。最終的には、2^n-1 の差分値と一つの和の値を得る。

この単純な離散ウェーブレット変換は、ウェーブレットの一般的な特性を示している。多重解像度解析の計算量はO(n)である。また、この変換は、時間及び周波数の両方の特性をつかむことができる。これら2つの特徴は、高速フーリエ変換と比較した場合の多重解像度解析の大きな特徴である。

もっとも一般的な離散ウェーブレット変換は、ベルギーの数学者イングリッド・ドブシー英語版によって1988年に証明された。この証明では、解像度が以前のスケールの2倍となっていく漸化式によって、もっとも密にサンプリングされたマザーウェーブレットを生成している。彼女の講義資料には、ドブシーウェーブレット英語版と呼ばれるウェーブレットファミリーが提供されており、その中の最古のウェーブレットはハールウェーブレットである。このあと、これをベースとした多くのウェーブレットが開発された。

離散ウェーブレット変換の別の表現としては、定常ウェーブレット変換英語版 (ダウンサンプリングが無い離散ウェーブレット変換)がある。また、関連した変換としては、ウェーブレットパケット英語版複素ウェーブレット変換英語版がある。

離散ウェーブレット変換は、科学工学数学計算機科学の分野で数多くの応用が存在する。 顕著な例としては、信号符号化データ圧縮などに用いられる。特に画像圧縮に対してはモスキートノイズが理論上ほとんど発生しないため、JPEG 2000アルゴリズムにも採用されている。

本来の定義[編集]

本来の f(t) に対する離散ウェーブレット変換の定義は、連続ウェーブレット変換の解像度を2倍刻みにした、下記の形である[1][2]\psi(t) はウェーブレット関数。j と k は整数。

d_k^{(j)} = 2^j \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{ \psi(2^j t - k) } dt

逆離散ウェーブレット変換は以下の形である。

f(t) = \sum_j \sum_k d_k^{(j)} \psi(2^j t - k)

しかしながら、これが使われる事は少なく、多重解像度解析が使われる事が一般的である。Mathematica[3]MATLAB[4] をはじめとして、多くのソフトウェアでは、多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼ぶ。多重解像度解析の詳細については、そちらの項目を参照。

参照[編集]

  1. ^ I.ドブシー. ウェーブレット10講. ISBN 978-4621062289. 
  2. ^ 榊原 進. ウェーヴレットビギナーズガイド―数理科学. ISBN 978-4501522704. 
  3. ^ DiscreteWaveletTransform—Wolfram言語ドキュメント
  4. ^ Single-level discrete 1-D wavelet transform - MATLAB dwt - MathWorks 日本

関連項目[編集]