陰函数定理

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数学の特に多変数微分積分学における陰函数定理(いんかんすうていり、: implicit function theorem[注釈 1]は、多項関係多変数函数(特に実多変数函数英語版)に読み替えることを可能にする基本的な道具である。グラフについて見れば、関係のグラフを函数のグラフとして表すということになる。このとき、関係全域を一つの函数のグラフとして表せるとは限らないが、関係の始域を制限すればそのような函数が取れる。陰函数定理はそのような函数の存在を保証するための十分条件を与えるものである。

定理の主張する所は、方程式 F(x1, …, xn; y1, …, ym) (= F(x; y)) = 0 が、偏微分に関してある種の緩やかな条件を満足するならば、原理的には(つまり必ずしも既知函数の閉じた形英語版に書くことができるとは限らないが)少なくとも適当な円板上において m-個の各変数 yin-個の変数 xj に関する式 yi = fi (x) として表すことができる。F(x, y) = 0 からこれら陰伏函数 fi(x)[1]が得られるというのは、幾何学的には y = f(x) の定める超曲面と局所的に英語版一致する F(x, y) = 0 によって定義される軌跡である。

一つの例に基づく導入[編集]

単位円は二変数函数 f(x, y) = x2 + y2 の等位線 f(x, y) = 1 として特定される。点 A の周りで y は函数 y(x) として、具体的には g1(x) = 1 − x2 として表される。他方、点 B の周りではそのような函数をとることはできない。

二変数の函数 ff(x, y) = x2 + y2 と定めれば、方程式 f(x, y) = 1 はその等位集合 {(x, y) |f(x, y) = 1} として単位円を描き出す。この単位円を一つの一変数函数 y = g(x) のグラフとして表す方法は存在しない(実際、各 x ∈ (−1, 1) に対して y は二通りの選び方、具体的には ±1 − x2 をとることができる)。

しかしながら、単位円の一部分であれば一変数函数のグラフとして表すことが可能である。いま g1(x) = 1 − x2 (−1 < x < 1) とすれば、y = g1(x) のグラフは単位円の上半を与える。同様に g2(x) = −1 − x2 (−1 < x < 1) とすれば、y = g2(x) のグラフは単位円の下半である。

陰函数定理の目的は、g1(x)g2(x) のような函数の存在を、明示的に式を書き下せないというような状況下でさえ、知ることである。定理が保証することは、g1(x)g2(x) が可微分であること、および可微分であるということが f(x, y) の式が明らかでない場合でも保証されることである。

定理の主張[編集]

f: Rn+mRm連続的微分可能とする。始域 Rn+m直積集合 Rn × Rm と見做して、この直積に属する元を (x, y) = (x1, …, xn; y1, …, ym) と書く。そのような函数 f が与えられたところから始めて、最終的に函数 g: RnRm でそのグラフ (x, g(x)) がちょうど f(x, y) = 0 を満たす点 (x, y) 全体の成す集合と一致するようなものを見つけることを考える。

既に述べたとおり、そのようなことは常に可能というわけではない。そこで適当な一点 (a, b) = (a1, …, an; b1, …, bm)f(a, b) = 0 を満足するものを固定し、そのような点 (a, b) の近くで目的に合う g を見つけることに視点を移す。すなわち、Rn開集合 U で点 a を含むものと、Rm の開集合 V で点 b を含むもの、および函数 g: UV の三つ組 U, V, g で、g のグラフが U × V 上で関係 f = 0 を満足するもの、式で書けば

を満足するものを求めたい。

陰函数定理を述べるためには、fヤコビ行列(函数行列)が必要である。それは f のすべての偏微分によって形作られる行列で、(a, b) における値は

で与えられる。右辺において、X は変数 xi たちに関する偏微分からなる行列、Y は変数 yj に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列 Y が正則ならば、所期の通りの U, V, g が存在することである。以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。

陰函数定理 ― f: Rn+mRm連続的微分可能で、Rn+m は座標系 (x, y) を持つとする。点 (a, b) = (a1, …, an; b1, …, bm)f(a, b) = c (cRm) を満たすものを固定する。このとき、行列 (∂fi∂yj(a, b))i,j正則ならば、a を含む開集合 U, b を含む開集合 V および一意的な連続的微分可能函数 g: UV

を満足するものが存在する。

正則性 (regularity) に関して以下のような一般化が可能である:

  1. f に対して U × V の内側で k-階までの導函数が全て連続的微分可能という仮定を追加するならば、定理にいう陽函数 g も同じく U の内側で k-階まで連続的微分可能で、
    を満足することが示せる。
  2. 解析的陰函数定理: 同様に、fU × V の内側で解析的ならば、gU の内側で解析的である[2]

例の再考[編集]

ふたたび単位円の例に戻ろう。すなわち、定理において n = m = 1 および f(x, y) = x2 + y2 − 1 と置いた場合であり、ヤコビ行列は 1×2-行列

で与えられる。したがって定理に言う Y はここでは単に数 2b で、それが定める線型写像が正則であるための必要十分条件b ≠ 0 である。ゆえに陰函数定理によれば、単位円は、y ≠ 0 なる任意の点に対して局所的に y = g(x) の形に書くことができる。しかし、既に上でも述べたが、点 (±1, 0) においては問題が生じる。陰函数定理はこれら二つの点においても適用することは未だ可能であるが、それは xy の函数 x = h(y) と見てのことである。実際、そのグラフを (h(x), y) とすれば、b = 0 のとき a = 1 と取れるから、局所的にこの形の函数に表されるための条件は満足されている。

yx に関する陰函数微分、および xy に関する陰函数微分は、陰函数 x2 + y2 − 1全微分0 に等しいと置いた

から求めることができる。すなわち、dy/dx = −x/y および dx/dy = −y/x が成り立つ。

応用: 座標変換[編集]

以下、座標系 (x1, …, xm) で座標付けられた m-次元空間を考える。これに適当な函数系 h1, …, hm を施して、新たな座標系 (x'1, …, x'm) を導入する。すなわち、各点の新座標は旧座標から

と計算することができる。この逆が可能であるかどうか、すなわち各点の新座標 (x'1, …, x'm) から旧座標 (x1, …, xm) に戻せるか、を検証したいと考えるかもしれない。この問いに、陰函数定理は一つの答えを提供する。

新旧の座標の対、(x'1, …, x'm; x1, …, xm)

と置くことにより、f = 0 なる関係を持つ。ここに f の適当な点 (a, b) = (x'1, …, x'm; x1, …, xm) におけるヤコビ行列は

で与えられる。右辺の 1mm×m-単位行列J は各偏微分の (a, b) における値からなる行列である(これらは上で X および Y と書いていたものである。いまの例ではたまたまどちらの行列も a に依存しない)。陰函数定理の主張に従えば、この行列 J が正則であるときには、(x1, …, xm) は局所的に (x'1, …, x'm) の函数として表される。J が正則であることは det(J) ≠ 0 と同値であるから、J の行列式が非零であるとき、新座標は旧座標に引き戻すことができることが分かった。この主張もまた逆写像定理と呼ばれている。

例: 極座標系[編集]

簡単な例として、平面上の極座標系 (R, θ) を考える。新たな座標系として直交座標系を考えれば、変換は x(R, θ) = R cos(θ) および y(R, θ) = R sin(θ) で与えられる。これにより、任意の点 (R, θ) が与えられれば、対応する直交座標 (x, y) が計算できる。逆に直交座標を極座標に変換することができるのはいつなのかを考えよう。前節に従えば、ヤコビ行列

det(J) ≠ 0 を満たすことが十分であった。ここに det(J) = R が成り立つから、極座標に戻すためには R ≠ 0 が十分である。ゆえに残りの R = 0 の場合に関して確かめよう。この場合、座標変換が可逆でないことを確かめることは容易である。実際、原点において θ の値は定義可能でない。

一般化[編集]

バナッハ空間版[編集]

バナッハ空間における逆写像定理は、陰函数定理がバナッハ空間値の写像に対しても拡張できることに基づく[3]

X, Y, Zバナッハ空間で、写像 f: X × YZ は連続的フレシェ微分可能とする。(x0, y0) ∈ X × Yf(x0, y0) = 0 を満たし、かつ yDf(x0, y0)(0, y)Y から Z の上へのバナッハ空間同型となるならば、x0 の近傍 Uy0 の近傍 V およびフレシェ微分可能函数 g: UV が存在して、任意の (x, y) ∈ U × V に対して f(x, g(x)) = 0 かつ f(x, y) = 0 y = g(x) とできる。

微分不能函数の定める陰函数[編集]

函数 f が微分可能でない場合の陰函数定理には様々な形のものが存在する。標準的な定理は一次元において成立するもの[4]である。以下に示すより一般の形の定理は、Jittorntrum の観察[5]に基づいて、Kumagai[6]が証明した。

定理
函数 f: Rn × RmRnf(x0, y0) = 0 を満たすとする。x0 および y0 それぞれの開近傍 ARn および BRm が存在して、任意の yB に対して f(• y): ARn が局所的に一対一となるならば、x0 および y0 それぞれの開近傍 A0Rn および B0Rm が存在して、方程式 f(x, y) = 0 が一意な解 x = g(y) ∈ A0 を持つ。ここで gB0 から A0 への連続函数である。

関連項目[編集]

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  1. ^ イタリアの Pisan school によって、ウリッセ・ディニ英語版に因んで「ディニの定理」あるいは「ディニの補題」と呼ばれることもあるが、解析学でよく言われるディニの定理英語版は別の定理である。
  1. ^ See Chiang 1984, pp. 204-206.
  2. ^ See Fritzsche & Grauert 2002, p. 34.
  3. ^ See Lang 1999, pp. 15–21 and Edwards 1994, pp. 417–418.
  4. ^ See Kudryavtsev 2001.
  5. ^ See Jittorntrum 1978, pp. 575–577.
  6. ^ See Kumagai 1980, pp. 285–288.

参考文献[編集]

  • Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. 
  • Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2. 
  • Jittorntrum, K. (1978). “An Implicit Function Theorem”. Journal of Optimization Theory and Applications 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 
  • Kumagai, S. (1980). “An implicit function theorem: Comment”. Journal of Optimization Theory and Applications 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.