部分対象

圏論という数学の分野において，部分対象（ぶぶんたいしょう，英: subobject）は，大まかに言って，同じ圏の別の対象の中にいる対象である．この概念は，集合論における部分集合，群論における部分群，位相空間論における部分位相空間^{[疑問点 – ノート]}などの概念の一般化である^[1]．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する射に依る．

部分対象の双対概念は商対象（しょうたいしょう，英: quotient object）である．これは商集合，商群，商位相空間などの概念を一般化する．

定義[編集]

詳しくは， $A$ をある圏の対象とする．余域を $A$ とする2つの単射

u : S \to A

v : T \to A

が与えられたとき， $u \leq v$ とは， $u$ が $v$ を通して分解する（英語版）こととする，つまり，ある $w : S \to T$ が存在して $u=v\circ w$ とする．次で定義される二項関係 $\equiv$ :

u \equiv v

⇔

u \leq v

かつ

v \leq u

は余域を $A$ とする単射上の同値関係であり，これらの単射の対応する同値類は $A$ の部分対象 (subobject) である．2つの単射が $A$ の同じ部分対象を表すとき，それらの始域は同型である． $A$ を余域とする単射の集まりに関係 $\leq$ をいれたものは前順序をなすが，部分対象の定義は $A$ の部分対象の集まりが半順序であることを保証する．（ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない；なのでこの議論は少々不正確である．任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき，圏は well-powered である．）

商対象という双対概念を得るには，単射を全射に置き換え射の向きを逆にすればよい．

例[編集]

圏 $Set$ において， $A$ の部分対象は $A$ の部分集合 $B$ に対応する，あるいは正確には，像がちょうど $B$ であるような $B$ に equipotent な集合からのすべての写像の集まりである． $Set$ の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である．類似の結果は $Grp$ やいくつかの他の圏でも成り立つ．

半順序クラス $P$ が与えられたとき， $P$ の元を対象とし，1つの対象（元）が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる． $P$ が最大元を持てば，この最大限の部分対象半順序は $P$ 自身である．理由の1つとしては，そのような圏の全ての射は単射であるからである．

終対象の部分対象は部分終対象（英語版）と呼ばれる．

脚注[編集]

^ Mac Lane, p. 126

参考文献[編集]

Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001

[Mac_Lane-1] Mac Lane, p. 126

[1]

定義[編集]

例[編集]

関連項目[編集]

脚注[編集]

参考文献[編集]