自由群

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自由群(じゆうぐん、free group)とは、公理から来る自明なもの以外に元の間の等式がないのことである。ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、および一方が他方の逆元であるかどうかは判定できる。

構成[編集]

文字の集合 X = {xλ} λ∈Λ に対し、新たに文字の集合 X-1 = {xλ-1} λ∈Λ をつくり、Ω = XX-1 とおく。 Ω に含まれる文字からなる長さ有限な文字列を、文字集合 Ω 上の(ご、word)と呼ぶ。

Ω の二つの語 a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bm) の積 ab

ab = (a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm)

と定めると Ω の語の全体 W(Ω) は、空の語 () を単位元とするモノイドになる(自由モノイドあるいは空の語を特に考えないものは自由半群)。ある語 a の中に xXx-1X-1 が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 b を作ることを a簡約(かんやく、reduce, cancel)して b にするという。簡約できない語は既約(きやく、irreducible)であるという。語 a を簡約して得られる既約な語を a簡約表示と呼び、ここでは I(a) と表すことにする。 W(Ω) における二項関係 ~ を簡約表示が一致すること、すなわち

a ~ bI(a) = I(b)

で定めると、この関係 ~ は同値関係となる。語 a の属する同値類を [a] で表すことにする。

定義[編集]

上の記法のもとで、W(Ω) の同値類の集合 F(X) = W(Ω)/~ は積を [a][b] = [ab] により定義することにより、X生成される群になる。 この群 F(X) を文字集合 X 上の自由群という。

普遍性[編集]

文字集合 X 上の自由群は自由群の普遍性 (universal property) と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。G を任意の群とし、f: XG を任意の写像とすると、群の準同型

\tilde{f}: F(X) \to G

で、その X への制限写像について

\tilde{f}(\mathbf{a}) = f(\mathbf{a})

が任意の aX に対して成立するようなものがただ一つ存在する。

自由群は、より一般の概念として圏論における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の随伴関手を定める。

群の表示[編集]

任意の群はある自由群の剰余群になり、生成元と基本関係式で表示できる。