自由振動

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自由振動(じゆうしんどう、英語: free oscillation英語: free vibration)とは、ある系がその固有振動数振動することである。減衰のない自由振動では強制振動とは異なり、系に外部から力が作用しなくても運動しつづける。

単振動[編集]

フックの法則[編集]

多くの弾性体では変形の量が小さい限り復元力と変形量の間に比例関係がある。

(1-1)

これをその発見者である17世紀のイギリスの物理学者ロバート・フックの名にちなんでフックの法則とよぶ。フックの法則は、板や棒の曲げのような、伸び縮みとは別種の変形でも同じように成り立つ。

単振動という運動[編集]

単振動(Simple harmonic motion)とは、等速円運動正射影の運動と同一である。等速円運動に光を当てると影ができる。この影の運動が単振動なのである。単振動している物体を調和振動子と呼ぶ。

単振動は等速円運動の正射影であるために、その性質が等速円運動と非常によく似ている。例えば、周期 T は等速円運動と同じように、

… (1-2)

であらわされ、当然、回転数(単振動では回転数のことを振動数という。定義は回転数と同じ)f も等速円運動と同様、

… (1-3)
… (1-4)

とあらわされる。

単振動の運動方程式[編集]

単振動のモデル

バネに支えられる質点の運動を考える。原点 をバネの重力とのつり合い長さ時にとり、上方向を x 軸正方向とする。このとき物体には、(1-1) の力が働く。ここで、ニュートンの運動方程式 より、

… (1-5)

両辺をmで割ると、

(1-6)

(1-6) 式の x を満たす関数としては、

  • … (1-7)
  • … (1-8)

の二つの特殊解が考えられる。線型微分方程式の性質から、この 2 つの特殊解を線形結合させた

… (1-9)

も、(1-6) の解であり、方程式が 2 階であることと (1-7),(1-8) の一次独立性から、これ以外の解はない。つまり (1-9) が (1-6) の一般解である。ここで、と定めると、(1-9) 式は、

… (1-10)

ここで三角関数の合成を利用すると、(1-10) 式は、

を満たした φ を用いて、

… (1-11)

とあらわされる。ここで、 とすると、(1-11)は、

(1-12)

となる。ここで(1-12)の各数値はそれぞれ以下のような物理量である。

よって、(1-12)であらわされる単振動の x-t グラフを描くと、図 1-5 のような正弦曲線を描く。 初期位相によって時刻 0 のときの物体の位置が決まる。このグラフの場合は以下の通り。

  • 初期位相 … 時刻 0 のときの座標 -C
  • 初期位相 … 時刻 0 のときの座標
  • 初期位相 … 時刻 0 のときの座標 C

調和振動子のエネルギー[編集]

振動している物体の運動エネルギー位置エネルギーについて述べる。運動エネルギーは

… (1-13)

で与えられるが、位置エネルギーは力学の保存力の場合における力とポテンシャルの関係から、

… (1-14)

となる。したがって、であるから、全エネルギーは次式となり

… (1-15)

全エネルギーが振幅の2乗とばね定数に比例し、一定値を取ることになる。これは力学的エネルギーの保存則と矛盾しない。

単振動の合成[編集]

単振動を2つ以上加え合わせることを単振動の合成という。1つの質点に、平行な2つの単振動の合成を行うとき、この質点の運動は次のように扱うことができる。 始めに振動している質点の運動の解が

… (1-16)

別の振動による質点の運動の解が

… (1-17)

これは具体的に、板の上で単振動している質点があり、さらにその板が地面に対して同じ方向に単振動している場合に当たる。この解は一般にかなりの複雑な運動を表すが、角振動数がある特別な整数比になる場合には、比較的簡単な扱いができる。例えば、初期位相が0で振幅と角振動数がいずれも2:3になる場合には、


… (1-18)

2つの単振動の振幅が等しい場合には、(1-17)は


… (1-19)

のように書き換えられる。角振動数がほんのわずかだけ違っている場合には、

… (1-20)

となり、因子Δωを含む振動項は非常にゆっくりと振動し、一方の振動項ははじめと同じ振動を続けることとなる。したがって、ゆっくりと振動をする部分のために、うなりという現象が生じる。ちょうど因子Δωを含む振動項の1周期Tの間に2度うなりを感ずるので、はじめの2つの単振動の振動数をそれぞれとすると、このうなりの振動数fは次式となる。

… (1-21)

自然界における単振動[編集]

単振動は最も基本的な振動運動であり、自然界においてもよくみられる。特に、ポテンシャルU(x)がある位置x=x0において最小値U(x0)=U0を持つような力学系の場合は、ポテンシャルの最小点x=x0付近での微小な運動は単振動として近似することができる。

このポテンシャルU(x)x=x0テイラー展開すると

となるが、運動をx=x0から微小な範囲に限定すると、x-x0は微小量となるため3次以上は無視できる。また、x=x0でポテンシャルU(x)が最小値をとることから、

である。これらのことを考慮すると、

となる。このポテンシャルによる力F

で与えられるので、U''(x0)=k(>0)とおくと、

これはx0を中心とする単振動を表す方程式である。

このことから、固体分子原子振動のような微小な振動運動は、単振動であることがわかる。

関連項目[編集]