置換の符号

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Loupe light.svg Permutations of 4 elements

Odd permutations have a green or orange background. The numbers in the right column are the inversion numbers オンライン整数列大辞典の数列 A034968, which have the same parity as the permutation.

数学において、少なくとも二元を含む有限集合 X置換X から X への全単射)は大きく二つのクラス(偶置換奇置換)に分けられる。X の任意の全順序を固定して、X の置換 σ偶奇性(パリティ; 対性)は σ転倒数、すなわち X の元の対 x, yx < y かつ σ(x) > σ(y) なるものの数、の偶奇性によって定義することができる。

置換 σ符号 (sign) あるいは符号数 (signature) sgn(σ) は、σ が偶置換ならば +1, 奇置換ならば −1 を割り当てる。置換の符号函数 sgn対称群 Sn交代指標と呼ばれる群指標を定義する。置換の符号に対する別の記法として、より一般のレヴィ–チヴィタ記号によって与えられる εσ がある。これは X から X への全単射とは限らない任意の写像に対して定義され、全単射でない写像に対しては 0 を割り当てる。

置換の符号は N(σ)σ転倒数とすれば

sgn(σ) = (−1)N(σ)

と明示的に書くことができる。

あるいは、置換の符号を置換の互換の積への分解によって定義することもできる。すなわち、置換 σ の互換の積への分解に現れる互換の数を m とするとき、

sgn(σ) = (−1)m

とおくのである。置換のこのような互換の積への分解は一意ではないけれども、分解に現れる互換の総数の偶奇は置換ごとに一定しているので、この方法で置換の符号は矛盾なく定まる[1]

一般化[編集]

置換の偶奇性の概念はコクセター群に対するものへ一般化することができる。対称群の場合に、各置換を隣接互換英語版の積に書いたように、コクセター群の各元 v を(選択した)生成元の積に表したときに、その積に現れる元の個数によって長さ函数英語版 l(v) を定義すれば、一般化された符号函数は v ↦ (−1)l(v) として与えられる。

関連項目[編集]

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  1. ^ Jacobson (2009), p. 50.

参考文献[編集]

  • Weisstein, Eric W. "Even Permutation". MathWorld(英語).
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1 
  • Rotman, J.J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate texts in mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94285-8. 
  • Goodman, Frederick M.. Algebra: Abstract and Concrete. ISBN 978-0-9799142-0-1. 
  • Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: the application to quantum mechanics. Dover classics of science and mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43798-9.