算術級数の素数定理

算術級数の素数定理（さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 a と公差 d が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を $\pi _{d,a}(x)$ で表すとき、

$\pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)$

となるという定理である。

歴史

$\gcd(a,d)=1$ である自然数 a, d に対し、$dn+a$ (n は自然数)と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。

エウクレイデス（ユークリッド）は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4n+3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。レオンハルト・オイラーはフェルマー数 F_kはどの2つも互いに素であること、F_kの素因数は n 2^k+1+1 の形をしていることを示したが、これから任意の整数 k に対し、n 2^k+1の形の素数が無限に多く存在することがわかる。アドリアン＝マリ・ルジャンドルは一般の円分多項式の値の性質から、 $dn+1$ の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。これらの証明はいずれも初等的であるが、一般の初項に対しては拡張できない。

1837年にペーター・グスタフ・ディリクレがL関数 $L(s,\chi )$ を導入し、$L(1,\chi )\neq 0$ を示す事で初めて$\gcd(a,d)=1$ である自然数 a, d に対し、$dn+a$の形の素数が無限に多く存在する事、さらに、 x 以下の該当する素数の逆数の和は$\sim (\log \log x)/\varphi (d)$を満たすことを示した。

算術級数の素数定理

$\pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)$

はシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。彼は素数定理を証明したのと同様の方法をディリクレのL関数に用い、 t が0でない実数で、$a<c/\log t$ のとき $L(1-a+it,\chi )\neq 0$ となる定数 c が存在することを示すことによってこの定理をより強い形

$\pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))$

（ここで c₁ は d に依存する正の定数）で証明した。

算術級数の素数定理の拡張

算術級数の素数定理が証明された後、$\pi _{d,a}(x)$ の誤差項の改善が大きな課題となった。

イヴァン・ヴィノグラードフ（1958年）は指数和の評価を用いて誤差項を $O(x\exp(-c_{1}(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}))$ に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。

一方、ゴールドバッハ予想などの数論上の問題の研究の過程で、dに対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは$L(s,\chi )$は χ が実指標のとき、$s>1-c/\log t$ を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 s に対して $L(s,\chi )=0$ となる事例はあるとしても1個しか存在しない。

ディリクレの類数公式から、任意の正の ε に対して $(L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{1/2+\epsilon })$ であることがわかり、これから$L(s,\chi )$ の実の零点 s は $s<1-c/t^{1/2+\epsilon }$ を満たすことが従う。ここで c は計算可能な正の定数である。

カール・ジーゲルは二次体の類数についての研究結果から任意の正の ε に対して $(L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{\epsilon })$ を示し、これから $s<1-c/t^{\epsilon }$ を 示した。ただしこのときは c は計算可能ではない。これは後にセオドア・エスターマンによって複素函数論の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、$x>\exp k^{\epsilon }$ ならば

$\pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))$

（ここで c₁ は ε にのみ依存する正の定数） が成り立つ事が示される。

参考文献

• K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, 1955, 1978.
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory, American Mathematical Society, 2004.