利用者:299b69a/双球座標系

双球座標系の図。双極座標系の2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって得られる。焦点は (x, y, z) = (0, 0, ±1)。赤、青、黄はそれぞれ σ = π/4、τ = 1/2、φ = π/3 の等値面である。黒の点は等値面の交点で、 (x, y, z) ≈ (0.841, -1.456, 1.239) である。

双球座標系は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

定義

$(x,y,z)=(0,0,\pm a)$（$a>0$）を焦点とする双球座標 $(\sigma ,\tau ,\phi )$ は以下のように定義される：

${\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}$

逆変換は

${\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\frac {r^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\frac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctan} \left({\frac {y}{x}}\right),\end{aligned}}$

で、$R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$、$Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}$ である。座標 $\sigma$ は焦点 $(0,0,\pm a)$ で、$\phi$ は z 軸上で不定となる。

各座標の範囲は

${\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}$

である。

座標面

$\sigma$ の等値面は

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

で表される。$0<\sigma <\pi /2$ のときはリンゴ、$\pi /2<\sigma <\pi$ のときはレモンのような形状になり、$\sigma =\pi /2$ のときは球である。なお、$\sigma =0,\pi$ はそれぞれ z 軸の $|z|\geq a$、$|z|\leq a$ に対応する。

$\tau$ の等値面は

$x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

で、$0<|\tau |<\infty$ のときは交差しない2つの球である。なお、$\tau =0$ は xy 平面、$\tau =\pm \infty$ は焦点 $(0,0,\pm a)$ に対応する。

$\phi$ の等値面は

$y=x\tan \phi$

で、半平面である。

尺度因子

双球座標系の計量テンソルは

${\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}$

である。したがって、微小体積要素は

$dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}$

となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：

$\nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]$

応用

双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。

外部リンク

• Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld