中点連結定理

中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり）とは、平面幾何の定理の1つである。

三角形ABCにおいて、底辺BC以外の 2 辺AB,ACの中点をそれぞれM,Nとおくとき、線分MNを三角形の中点連結とよぶ。このとき、中点連結MNと底辺BCの間に 2MN=BC かつ MN//BC が成り立つ。

証明

三角形ABCとAMNが相似であることは、角Aが共通で、AB:AM=AC:AN=2:1であることからわかる。 そして、その2つの三角形の相似比が2:1であることから「2MN=BC」が、同位角(角B=角AMN)が等しいことから「MNとBCは平行」が言える。

別解:線分MNを延長上にMN＝NDとなる点Dをとる。四角形AMCDは、MN=ND、AN=NCであることより、対角線が各々の中点で交わるので、平行四辺形である。よってAM=CDであり、かつAB//CD。このAB//CDとAM=MBよりMB//CD、MB=CD。１辺が等しく平行なので、四角形MBCDは平行四辺形。その性質からMD//BC、よってMN//BC。またMD=BCだから2MN=BC。

ファイル:Tyuten renketsu CPP.png

==逆==

三角形ABCにおいて、辺ABの中点Mから引いた底辺BCの平行線と、残りの辺ACとの交点Nは、辺ACを二等分する。

証明:線分MNの延長上に、MD＝BCとなる点Dをとる。四角形MBCDは、一組の対辺MN,BCが平行かつ等長であることから、平行四辺形である。よってAB//CDであり、また CD＝MBと AM＝MBとから AM＝CD。一組の対辺 AM,CD が平行かつ等長であることから、四角形AMCDは平行四辺形。平行四辺形AMCDの対角線は中点で交わることから、AN＝NC。

なお「三角形ABCにおいて、辺ABの中点Mと 辺AC上の点Nを結ぶ線分MNの長さが底辺BCの半分であれば、点Nは、辺ACを二等分する」も、中点連結定理の「逆」の内容を持っているが、内容自体が誤りなので、定理として「中点連結定理の逆」と呼ばれることはない。