中点連結定理

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中点連結定理。辺 MNBC の長さの比は 1:2 であり、2 つの辺は互いに平行である。

中点連結定理(ちゅうてんれんけつていり、: midpoint theorem, midpoint connector theorem)とは、平面幾何定理の一つ。

定理[編集]

三角形の 2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分は、 残りの 1 辺と平行であり、線分の長さはその辺の半分となる。

証明[編集]

以下において、角度を表し、 は 2 つの線分平行であることを表す。

三角形 ABC について、辺 AB中点M, 辺 AC の中点を N とする。三角形 ABC頂点 A と 2 つの中点 M, N がなす三角形 AMN は、元の三角形 ABC相似であることを示し、中点連結定理が成り立つことを証明する。

  1. 三角形 ABCAMN が互いに相似であることは、∠A を共有し ({{math|∠CAB = ∠NAMであるから、2 つの三角形の辺の比について特に、AB:AM = AC:AN = 2:1 という関係が成り立つ。従って、相似な図形の性質から残る辺の比についても BC:MN = 2:1 という関係が成り立ち、中点連結 MN の長さは辺 BC の長さの半分であることが示される。
  2. MN および BC と線分 AB によって作られる 2 つの∠AMN∠ABC について、三角形 AMNABC が互いに相似であることから、∠AMN = ∠ABC が成り立つ。これらの角は同位角であるから、同位角をなす 2 つ辺 MN, BC は互いに平行であることが示せた。

次に平行四辺形の性質を利用した方法を示す。 まず、線分 MNM 側の延長線上に、 MN = ND となるような点 D をとる。

  1. MN = ND, AN = NC であることより、四角形 AMCD対角線は各々の中点 N で交わるので、平行四辺形である。
  2. 四角形 AMCD は平行四辺形だから、AM = CD かつ AB ∥ CD である。AB ∥ CDAM = MB よりMB ∥ CD, MB = CD が成り立ち、2辺が等しく平行なので、四角形MBCDは平行四辺形をなす。
  3. 従って他方の辺の組についても互いに平行であり MD ∥ BC より MN ∥ BC が成り立つ。
  4. また MD = BC および ND = MN, MD = MN + ND より 2MN =BC が成り立つから、辺 BCMN について中点連結定理が示された。

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定理のは、そのまま結論と前提を入れ替えれば「三角形の 2 辺の上に端点を持つ線分が、残りの 1 辺と平行かつ長さがその辺の半分となるとき、線分の端点は各辺の中点になる。」で真である。

しかし、次のような定理も中点連結定理の逆と呼ばれる事がある。

三角形 ABC において、辺 AB の中点 M から引いた底辺 BC の平行線と、残りの辺 AC との交点 N は、辺AC を二等分する。


関連項目[編集]