スペクトル半径

数学におけるスペクトル半径(-はんけい、spectral radius)とは、行列ないし有界線形作用素についての固有値の絶対値の最小上界で、ρ(・) と表記される。

行列のスペクトル半径

λ₁, ...,λ_s（実数ないし複素数）を行列 A∈C^n×n の固有値とすると、スペクトル半径 ρ(A) は以下のように定義される。

$\rho (A):=\max _{i}(|\lambda _{i}|)$

以下の補題は、行列のスペクトル半径に対し、非常に単純で有用な上限を与えるものである。

補題: A ∈ C^{n × n} を複素行列、ρ(A) をそのスペクトル半径、||·|| を 一貫性のある行列ノルム とすると、任意の k ∈ N に対し以下の式が成立する。

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k},\ \forall k\in \mathbb {N} .$

証明: (v, λ) を行列Aの固有ベクトル-固有値の組とする。行列ノルムの sub-multiplicative 性から、次式を得る。

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|$

ここで、v ≠ 0 であるので、任意の λ に対して次式を得る。

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

したがって、

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}\,\,\square$

以下の定理が示すように、スペクトル半径は行列の等比数列の収束性と密接に関係している。

定理: A ∈ C^{n × n} を複素行列、ρ(A) をそのスペクトル半径とすると、次式が成立する。

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ if and only if $\rho (A)<1.$

さらに、ρ(A)>1 の場合は、$\|A^{k}\|$ は k の増加に対して有界でない。

証明:

($\lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Rightarrow \rho (A)<1$)

(v, λ) を行列Aの固有ベクトル-固有値の組とすると、

$A^{k}\mathbf {v} =\lambda ^{k}\mathbf {v} ,$

であるから、以下の式を得る。

$0\,$	$=(\lim _{k\to \infty }A^{k})\mathbf {v}$
	$=\lim _{k\to \infty }A^{k}\mathbf {v}$
	$=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v}$
	$=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}$

また、v ≠ 0 の仮定から、次式を得る。

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

これは、|λ| < 1 であることを意味する。これはすべての固有値 λ に対して成立しなければならないから、ρ(A) < 1 と結論づけることができる。

($\rho (A)<1\Rightarrow \lim _{k\to \infty }A^{k}=0$)

ジョルダン標準形の定理から、任意の複素行列 A ∈ C^{n × n} に対し、非特異行列 V ∈ C^{n × n} と ブロック対角行列が J ∈ C^{n × n} が存在して、次式を満たすことが知られている。

$A=VJV^{-1}$

ただし、

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m_{i},m_{i}},1\leq i\leq s.$

自然に、以下の式が得られる。

$A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

また、J はブロック対角行列であるので、

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

今、m_i × m_i のジョルダン細胞の k 乗に対する標準的な結果から、k ≥ m_{i − 1} に対して次のように述べることができる。

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

したがって、if ρ(A) < 1 の場合、|λ_i| < 1 ∀ i である。すなわち、

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0\ \forall i$

これは、次のことを意味する。

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

したがって、

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V(\lim _{k\to \infty }J^{k})V^{-1}=0$

一方、ρ(A)>1 の場合は、少なくとも J のうち一つの要素は k の増加に対して有界でない。したがって、定理の後半が証明される。

$\square$

定理（Gelfand の公式、1941年）

任意の行列ノルム ||·|| に関して、次式が成立する。

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }||A^{k}||^{1/k}.$

換言すれば、Gelfand の公式は、A^k のノルムの増加率が A のスペクトル半径に漸近することを示している。

$\|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k}$ for $k\rightarrow \infty .\,$

証明: 任意の ε > 0 に対し、次のような行列を考える。

${\tilde {A}}=(\rho (A)+\epsilon )^{-1}A.$

すると、当然

$\rho ({\tilde {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)+\epsilon }}<1$

である。先の定理から、

$\lim _{k\to \infty }{\tilde {A}}^{k}=0.$

これは、数列の極限の定理から、ある自然数 N₁ ∈ N が存在して、次式を満たすことを示している。

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\tilde {A}}^{k}\|<1$

すなわち、

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|<(\rho (A)+\epsilon )^{k}$

または、

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}<(\rho (A)+\epsilon ).$

である。ここで、次の行列を考える。

${\check {A}}=(\rho (A)-\epsilon )^{-1}A.$

すると、当然、

$\rho ({\check {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)-\epsilon }}>1$

また、先の定理より、$\|{\check {A}}^{k}\|$ は有界でない。

これは、自然数 N₂ ∈ N が存在して、次式を満たすことを意味する。

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|{\check {A}}^{k}\|>1$

すなわち、

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|>(\rho (A)-\epsilon )^{k}$

または、

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon ).$

である。ここで、

$N:=max(N_{1},N_{2})$

とすると、以上のことから、次式を得る。

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

したがって、定義より、

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square$

Gelfand の公式は、有限個の行列の積のスペクトル半径に対しても考えることができる。すべての行列が可換であると仮定すると、次式を得る。

$\rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n}).$

実際、ノルムが一貫性を持つ場合、この証明は命題より多くの事実を含む。先の命題を用いて、左辺の下限をスペクトル半径自体に置き換えることで、より正確に以下の式を書くことができる。

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

定義より、

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+}.$

例: 次の行列を考える。

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

この固有値は 5, 10, 10 であるから、定義より、スペクトル半径は ρ(A)=10 である。以下の表には、最も良く用いられる 4 つのノルムに対する $\|A^{k}\|^{1/k}$ の、k の増加に対する値が記載されている（この行列は正方行列であるので、$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$ であることに注意されたい）。

k	$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$	$\|.\|_{F}$	$\|.\|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

有界線形作用素のスペクトル半径

有界線形作用素 A と作用素ノルム ||·|| に対し、再び次式を定義する。

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}.$

（複素ヒルベルト空間上の）有界作用素は、そのスペクトル半径が数域半径と一致する場合、spectraloid operator と呼ばれる。このような作用素の例としては、正規作用素がある。

グラフのスペクトル半径

有限グラフのスペクトル半径は、その隣接行列のスペクトル半径として定義される。

この定義は、頂点の次数が有界な無限グラフ（すなわち、ある実数 C が存在して、グラフ中のすべての頂点の次数が C より小さくなる）の場合に拡張される。この場合、グラフ G に対してl²(G) を次の関数の関数空間とする。

$f\colon V(G)\to {\mathbb {R} }$ ただし、 $\sum _{v\in V(G)}\|f(v)^{2}\|<\infty$

γ: l²(G) → l²(G)を G の隣接作用素、すなわち、

$(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)$

とすると、G のスペクトル半径は、有界線形作用素 γ のスペクトル半径として定義される。

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• スペクトルギャップ(w:Spectral Gap)

外部リンク

• Spectral Radius of Planar Graphs（英語）