計量テンソル

計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（rank）が2のテンソルである。 多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）と呼ばれることもある。

ひとたび、ある座標系 xⁱ が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、Gとして表記され、各成分は、 $g_{ij}^{}$ として表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。

a から b　までの曲線の長さは、$t_{}^{}$ をパラメータとして、

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\$

として定義される。2つの接ベクトル（tangent vector）$U=u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}\$ と $V=v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}\$ のなす角度$\theta _{}^{}$ は、

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\$

で与えられる。

例

ユークリッド計量

2次元のユークリッド計量（平らな空間）は、

$g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$, 　$ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}$

で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\$

で与えられる。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標（Polar coordinates）: $(x^{1},x^{2})=(r,\theta )\$

$g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}$, 　$ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}$

円筒座標（Cylindrical coordinates）: $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\$　

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$, 　 $ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}$

球座標（Spherical coordinates）: $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\$

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}$, 　 $ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}$

平らな ミンコフスキー空間（flat Minkowski space）: $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\$

$g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$, 　$ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}$