凸関数

凸関数とは、区間 (または、ベクトル空間の凸集合 C )で定義された実数値関数で、任意の二点 x と y と閉区間 [0,1]に含まれる任意の t について、

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$

を満たす関数である。

言い換えれば、エピグラフ(グラフ上またはグラフの上部の点の集合)が凸集合である関数である。

また同様に狭義凸関数とは、任意の開区間(0,1)に含まれる任意の t について

$f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)\,$

を満たす関数である。

また凸関数の反対は凹関数である。

凸関数の性質

凸開区間 C で定義された凸関数 f は、連続で、高々可算個の点を除いて微分可能である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。

連続関数 f が、凸関数である必要十分条件は、任意のx と y について

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}.$

を満たすことである。

区間上の一変数微分可能な関数が、凸関数である必要十分条件は、微分が単調非減少であることである。

また一変数二階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、二階微分が非負であることである。また、狭義凸関数ならば二階微分は正である。逆は真でない。

より一般的に、C²級関数が、凸関数である必要十分条件は、凸集合の内部で、ヘッセ行列が半正値であることである。

f , g が凸関数であるとき、非負の a , b について a f + b g は凸関数である。同様に、max{f,g}も凸関数である。

凸関数の極小値は最小値である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら一点である。

f が凸関数のとき、レベル集合{x | f(x) < a} と {x | f(x) ≤ a} 　は任意の a ∈ Rについて凸集合である。

対数凸関数

定義域において非負であり、その対数が凸である関数を対数凸関数(logarithmically convex function)という。対数凸関数は、それ自体、凸関数である。

例

• $x^{2}$は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
• $x^{3}$は$x>0$において凸関数であり、$x<0$において凹関数である。
• 指数関数$e^{x}$は凸関数であり、(狭義ではない)対数凸関数である。
• ガンマ関数$\Gamma (x)$は$x>0$において対数凸関数である。
• 絶対値|x|はx = 0で微分不可能であるが凸。
• 区間[0,1]上で、f(0)=f(1)=1,0<x<1のとき f(x)=0 で定義された f は不連続であるが、凸。
• 線形写像は凸だが、狭義凸関数ではない。これは凹関数についても同様。
• アフィン写像は凸関数かつ、凹関数。

関連項目

• ジェンセンの不等式