旅人算

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旅人算(たびびとざん)とは、算数において、速さを題材とする文章題の類型のひとつ。動くものが2つあるとき、2つのものの隔たりの推移に関する問題をいう。2つの物の進行方向により、出会い算追いつき算に分けられる。通常は、速さを単純にたし引きして解ける。中学受験問題としてきわめて出題率が高い類型である。

公式[編集]

  • 向かい合って進む場合(出会い算
    • 出会うまでの時間 = 2地点の距離 ÷ 速さの和
  • 同じ方向に進む場合(追いつき算
    • 追いつくまでの時間 = はじめの距離 ÷ 速さの差

多くの場合はこれらを用いて解く。

例題[編集]

太郎君は午前8時に、毎分60mで歩いて家から学校へ向かった。寝坊した次郎君は午前8時15分に毎分150mの自転車で家を出発した。次郎君は、太郎君を途中で追い越し、太郎君よりも9分早く学校へ着いた。

  • 次郎君が太郎君に追いついたのは何時何分か?
  • 家から学校までの距離は何kmか?

解法[編集]

  • (道のり)=(速さ)×(時間)
  • 公式から、「同じ距離を進む場合、時間のは速さの逆比になる」という点に注目。
  • 線分図を描くことで、より容易に理解できる。

解答[編集]

次郎君が出発した時点ですでに太郎君は15分間歩いているので、その距離の差は

60 × 15 = 900(m)

である。次に、次郎君が太郎君を追いかける場合、1分間で150-60=90(m)だけ、その差を縮めることができる。これを考えると、出発時についていた900mの差を次郎君が縮めるには

900 ÷ 90 = 10(分)

かかる。次郎君の出発は8時15分だったので、10分を足して8時25分に太郎君に追いついたことになる。

別解[編集]

学校までの時間は、太郎君のほうが次郎君より24分(最初の15分+最後の9分)長く歩いていることになる。

一方、速さの比は、

太郎 : 次郎 = 60 : 150 = 2 : 5

であるから、同じ距離(家から学校まで)を進むのにかかる時間の比は、

太郎 : 次郎 = 5 : 2

である。太郎君が家から学校までかかった時間を★★★★★、次郎君がかかった時間を★★とすると、その差★★★が24分となるので(このあたり線分図を描く)、

★ = 8分

となり、太郎がかかった時間は

5 × ★ = 40分

である。太郎の速さは毎分60mだから、家から学校までの距離は

60 × 40 = 2400(m)

したがって、答えは2.4kmとなる。

進行グラフによる解法[編集]

次のように進行グラフで解くこともできる。 Shinkoug.jpg

応用[編集]

旅人算の応用として、

  • 3人旅人算 - 2人ずつの3組の旅人算の組み合わせで解く問題
  • 時計算 - 角度から時刻を求める、時刻から角度を求める、針が線対称な時刻を求めるなど
  • 通過旅人算
  • 流水旅人算

などの形で問題とされることがある。

また、経路が環状、複線(平面)、複線(空間)であったり、速さが規則的に変化したりする問題もある。

関連項目[編集]