差分多項式

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数学複素解析の分野における一般差分多項式(いっぱんさぶんたこうしき、: general difference polynomials)とは、シェファー多項式のある特別な部分クラスに属する多項式列であり、ニュートン多項式英語版セルバーグ多項式(Selberg's polynomials)およびスターリング補間多項式(Stirling interpolation polynomials)を特殊な場合として含むものである。

定義[編集]

一般差分多項式は次で与えられる。

p_n(z)=\frac{z}{n} {{z-\beta n -1} \choose {n-1}}.

ここで {z \choose n}二項係数である。\beta=0 のとき、この一般化多項式 p_n(z) は次のニュートン多項式になる。

p_n(z)= {z \choose n} = \frac{z(z-1)\cdots(z-n+1)}{n!}.

また \beta=1 ならセルバーグ多項式、\beta=-1/2 ならスターリング補間多項式が導かれる。

移動差分[編集]

解析関数 f(z) に対し、その移動差分(moving difference)を

\mathcal{L}_n(f) = \Delta^n f (\beta n)

で定める。ここで \Delta前進差分作用素である。このとき、f がある特別な総和可能性(summability)についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。

f(z)=\sum_{n=0}^\infty p_n(z) \mathcal{L}_n(f).

この列の総和可能性(すなわち、収束)に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が指数型英語版よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、Boas & Buck において詳細に議論されている。

母関数[編集]

一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。

e^{zt}=\sum_{n=0}^\infty p_n(z) 
\left[\left(e^t-1\right)e^{\beta t}\right]^n.

この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。

K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n.

ここで A(w)=1\Psi(x)=e^xg(w)=t および w=(e^t-1)e^{\beta t} とされる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.