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数学 の複素解析 の分野における一般差分多項式列 (いっぱんさぶんたこうしきれつ、英 : general difference polynomials )とは、シェファー多項式列 のある特別な部分クラスに属する多項式列 であり、ニュートン多項式列 、セルバーグ多項式列 (Selberg's polynomials ) およびスターリング補間多項式列 (Stirling interpolation polynomials ) を特殊な場合として含むものである。
適当な定数 β に対して、一般差分多項式列は
p
n
(
z
)
=
z
n
(
z
−
β
n
−
1
n
−
1
)
{\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}
で与えられる。ここで
(
z
n
)
{\displaystyle \textstyle {z \choose n}}
は二項係数 である。
β = 0 のとき、生成される p n (z ) は、ニュートン多項式列
p
n
(
z
)
=
(
z
n
)
=
z
(
z
−
1
)
⋯
(
z
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}
である。
β = 1 のとき、セルバーグ多項式列が生成される。
β = −1 ⁄2 のとき、スターリング補間多項式列が生成される。
移動差分 [ 編集 ]
解析関数
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
に対し、その移動差分 (moving difference ) を
L
n
(
f
)
=
Δ
n
f
(
β
n
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}
で定める。ここで
Δ
{\displaystyle \Delta }
は前進差分作用素 である。このとき、f がある特別な総和可能性 (summability ) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
L
n
(
f
)
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}
この列の総和可能性(すなわち、収束)に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が指数型 (英語版 ) よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、Boas & Buck (1964) において詳細に議論されている。
母関数 [ 編集 ]
一般差分多項式に対する母関数 は、次で与えられる。
e
z
t
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
[
(
e
t
−
1
)
e
β
t
]
n
.
{\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}
この母関数には、次のような一般化アペル表現 が存在する。
K
(
z
,
w
)
=
A
(
w
)
Ψ
(
z
g
(
w
)
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
w
n
.
{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}
ここで
A
(
w
)
=
1
{\displaystyle A(w)=1}
、
Ψ
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}
、
g
(
w
)
=
t
{\displaystyle g(w)=t}
および
w
=
(
e
t
−
1
)
e
β
t
{\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}
とされる。
関連項目 [ 編集 ]
参考文献 [ 編集 ]
Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.