多角形表記

多角形表記（たかくけいひょうき、polygon notation）とは、多角形を用いた巨大数の表記法である。ユゴー・スタインハウスによって考案され、後にレオ・モーザーによって拡張された。

スタインハウスの多角形表記

スタインハウスの多角形表記は、次のように定義される。

• = nⁿ
• = 「n 重の三角形の中の n 」
• = 「n 重の四角形の中の n 」

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。

• をメガ(Mega)という。
• をメジストン(Megiston)という。

モーザーの多角形表記

モーザーの多角形表記は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。

• 、はスタインハウスのものと同じ。
• = 「n 重の四角形の中の n 」 (= )
• 一般に「m 角形の中の n 」 = 「n 重の m - 1 角形の中の n 」

「角形の中の2」 をモーザー数と言う。

ブラケットでの表記

ヨーク大学のSusan Stepney教授は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。

• p 角形の中の n を $n[p]\,$ と表す。
• $[\ldots ]$ は必要なだけ繰り返せる。たとえば、p 角形の中の q 角形の中の n は $n[q][p]\,$ と表す。
• k 重の p 角形の中の n を $n[p]_{k}\,$ と表す。つまり、$n[p]_{k}=n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}$ である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。

• $=n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,$
• $=n[4]=n[3]_{n}\,$
• $=\,$ $=n[5]=n[4]_{n}\,$
• 一般に $n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,$

ここで、↑はクヌースの矢印表記である。

他の例としては：

• $=n[3]_{4}$

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。

• （メガ）$=2[5]$
• （メジストン）$=10[5]$
• モーザー数 = $2[2[5]]$

計算

簡単な例

• 2[3] = 2² = 4
• 2[4] = 2[3]₂ = 4[3] = 4⁴ = 256

スタインハウスのメガ

= 2[5]

= 2[4]₂

= 2[4][4]

= 256[4]

= 256[3]₂₅₆

256[3]_nを順に見ていくと、

$256[3]=256^{256}$

$256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257$,

$256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{257+256^{257}}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)$

となる。ここで、きわめて大雑把な「近似」

$256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257$

を導入する。しかし近似といっても実際は

$256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}$

であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。

同様に、

$256[3]_{4}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257$

$256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257$

と「近似」できる。したがって、

$=256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257$

である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、

$\risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257$

と表せる。ただし実際は、

$\gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257$

である。

具体的な値は

$\approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)$

に近く、したがって

$10\uparrow \uparrow 257<$ $<10\uparrow \uparrow 258$

の範囲にある。

スタインハウスのメジストン

= 10[5] = 10[4]₁₀ = 10[4][4]₉ = (10[4]₉)[4]

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ

$a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)$

$a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1$ (*)

であるとすると、

$10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11$

$10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

ここで、一般のa,b,nについて次のような式を考える。a↑b = a^b に注意すれば、

${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow (b-1))+(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}$

a,bが十分に大きければ

$a\uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)$

だから、

$(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))$

と近似してよい。

これを n が 1 になるまで繰り返せば、

${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}$

したがって、$n\gg b$ ならば

$(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n$ (**)

と近似してよい。

(**)を用いて、改めて 10[4]₂ を近似すると

$10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

である。以下同様に(*)と(**)を使えば

$10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11$

$10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11$

$10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11$

したがって、

$10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11$

であるので、大ざっぱには

$\risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

である。ただし、実際はメガと同様に、

$\gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

である。

モーザー数

モーザー数は 2[ ]$=2[2[5]]$である。先に示したようには相当な巨大数であるので、角形はほとんど円も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

よりはるかに大きいことは自明で、またよりもはるかに大きい。

しかし、グラハム数よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって1998年に証明された。[1] この証明によれば、モーザー数 M はチェーン表記を用いて

$M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)$

である。

モーザー数をクヌースの矢印表記で厳密に表すのは事実上不可能であるが、およそ3↑↑↑…（②-2本）…↑↑↑3に近似すると考えられる。

関連項目

• クヌースの矢印表記
• コンウェイのチェーン表記

外部リンク

• Susan Stepney's Big Numbers
• Weisstein, Eric W. "Steinhaus-Moser notation". mathworld.wolfram.com (英語).