トロコイド

トロコイド (trochoid) とは、円をある曲線（円や直線はその特殊な場合）にそってすべらないように転がしたとき、その円の内部または外部の定点が描く曲線。この記事ではトロコイドと併せて外トロコイドと内トロコイドについても解説する。

トロコイド

トロコイド (r_m = 1, −2π ≤ θ ≤ 2π, r_d=1/5（マゼンタ）, 1/2（黄）, 1（緑）, 2（赤）, 3（青）)

動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、トロコイドの媒介変数表示は

${\begin{cases}x=r_{m}\theta -r_{d}\sin \theta ,\\y=r_{m}-r_{d}\cos \theta ,\end{cases}}$

によって表される曲線である。余擺線（よはいせん）ともよばれる。

r_m < r_d のとき、1回の回転でx軸と2回交わる。 r_m = r_d のとき、1回の回転でx軸と1回接し、曲線はサイクロイドとなる。 r_m > r_d のとき、x軸と交わらない。

外トロコイド

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、外トロコイドの媒介変数表示は

${\begin{cases}x=(r_{c}+r_{m})\cos \theta -r_{d}\cos \left({\cfrac {r_{c}+r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\\y=(r_{c}+r_{m})\sin \theta -r_{d}\sin \left({\cfrac {r_{c}+r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\end{cases}}$

によって表される曲線である。エピトロコイド (epitrochoid) とも呼ばれる。r_d = r_m のとき外サイクロイドとなる。

内トロコイド

図は r_c = 5, r_m = 3, r_d = 5 の内トロコイド

楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は r_c = 10, r_m = 5, r_d = 1 の場合。

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、内トロコイドの媒介変数表示は

${\begin{cases}x=(r_{c}-r_{m})\cos \theta +r_{d}\cos \left({\cfrac {r_{c}-r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\\y=(r_{c}-r_{m})\sin \theta -r_{d}\sin \left({\cfrac {r_{c}-r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\end{cases}}$

によって表される曲線である。ハイポトロコイド (hypotrochoid) とも呼ばれる。r_d = r_m のとき内サイクロイドとなる。また特に r_c = 2r_m のとき、描画点の軌跡は楕円を描く。

参考文献

• 田端毅、讃岐勝、礒田正美著、礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、 『曲線の事典 性質・歴史・作図法』 共立出版、2009年。ISBN 9784320019072。 

関連項目

• サイクロイド