mKdV方程式

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mKdV方程式(えむけぃでいびぃほうていしき、: mKdV equation)または変形KdV方程式(へんけいけぃでいびぃほうていしき、: modified KdV equation)とは非線形波動を記述する非線形偏微分方程式可積分系の方程式の一つであり、無限個の保存量が存在する。日系3世である数学者ローバート・ミウラ(R. Miura)によって導出された。

概要[編集]

定義[編集]

時間変数t と空間変数x の関数でv (x, t )についての非線形偏微分方程式

mKdV方程式または、変形KdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、

等のソリトン的な解を有する。

KdV方程式との関係[編集]

v が第2項の符号を変えたmKdV方程式

の解とすると、Miura変換と呼ばれる関係式

で結ばれるuKdV方程式

の解となる。このことは、関係式

から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ(R. Miura)によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における逆散乱法の発展の契機となった。

逆散乱法との関係[編集]

uを与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、リッカチの微分方程式であり、変数変換

により、

線形化される。元のKdV方程式が、ガリレイ変換

のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換uu-λで、上記の線形化された方程式は、

となる。これは、uをポテンシャル関数、λを固有値とするシュレディンガー方程式である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める逆問題を解くことと等価である。

参考文献[編集]

原論文
  • R. Miura, "Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation," J. Math. Phys., 9, p. 1202 (1968) doi:10.1063/1.1664700
参考書籍

関連項目[編集]