単調族

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集合族の一種である単調族(たんちょうぞく、: monotone class)は、測度論においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。

定義[編集]

集合 X の部分集合族 が単調であるとは、単調集合列ドイツ語版(単調増加または単調減少な列)の極限がまた に属するときに言う。記号で書けば、

性質[編集]

複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族 K の生成する単調族が

と定義できる。これは閉包作用素英語版と解釈できる。

測度論における集合族の関係図

他の集合族との関係[編集]

  • 単調族を成す集合環σ-集合環である。
  • 集合 X の部分集合からなる単調族が、全体集合 X を含み、かつその族に属する集合 A, BBA を満たすとき必ず AB もその族に属するならば、その単調族はディンキン族である。
  • 任意の σ-集合環は単調族である。
  • 集合代数の生成する単調族の全体は代数の生成するσ-集合代数の全体と対応を持つ。
  • 集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。

参考文献[編集]

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

関連項目[編集]

外部リンク[編集]