円錐台

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Kegelstumpf.svg

円錐台(えんすいだい、: circular truncated cone)は、を底面とした錐台である。つまり、円錐底面平行平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。

プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される図形である。

体積[編集]

初等的な導出[編集]

錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合(日本の多くの小中学生はそうである)、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。円錐台の上底の半径を r1, 下底の半径を r2, 高さを h とすると、もとの大きな円錐の高さ H

を満たす。これを H について解くと、

となる。円錐台の体積 V

であるから、先ほどの H を代入して整理すると、

となる。これは、上底の面積を S1, 下底の面積を S2 とすると

とも表せる。

積分[編集]

体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。

または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が

であることに注意してパップス–ギュルダンの定理を用いると、

となる。

関連項目[編集]