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レーマン表示(英: Lehmann representation)とは、場の理論における2点グリーン関数(1粒子グリーン関数)のスペクトル表示(積分表示)のことを指す。
2点因果グリーン関数、2点遅延グリーン関数、2点先進グリーン関数のフーリエ変換を
とすると、次のようなレーマン表示が成り立つ[1]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{AB}^{\mp }(\omega )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{\omega -\omega '+i\eta }}\mp {\frac {e^{-\beta \hbar \omega '}}{\omega -\omega '-i\eta }}{\Bigg ]}S_{AB}(\omega ')d\omega '\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{\omega -\omega '+i\eta }}\mp {\frac {e^{-\beta \hbar \omega '}}{\omega -\omega '-i\eta }}{\Bigg ]}(1\mp e^{-\beta \hbar \omega '})^{-1}\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')d\omega '\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\rm {P}}{\frac {1}{\omega -\omega '}}-i\pi {\Bigg \{}\tanh {\Big (}{\frac {\beta \hbar \omega '}{2}}{\Big )}{\Bigg \}}^{\mp 1}\delta (\omega -\omega '){\Bigg ]}\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')d\omega '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605327c453ba2145bd4a7aec79f058b7a65d6783)
![{\displaystyle G_{AB}^{R\mp }(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')}{\omega -\omega '+i\eta }}d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d0c6efe4c8fba0e63ca41c616939c96e344881)
![{\displaystyle G_{AB}^{A\mp }(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho _{AB}^{\pm }(\omega ')}{\omega -\omega '-i\eta }}d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12350876833b12626e3562d63ce26b6f875f502)
ここで
は
のフーリエ変換である。
は
のフーリエ変換であり、スペクトル関数と呼ばれる。
参考文献[編集]
- ^ 西川恭治, 森弘之『統計物理学 (朝倉物理学大系)』朝倉書店、2000年。ISBN 4254136803。