リーマン和

リーマン和（リーマンわ、英語: Riemann sum）とは、 実数区間 $I=[a,b]$ 上で、 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b$ なる数列があるとし、 代表点 $\xi _{k}(x_{k-1}\leq \xi _{k}\leq x_{k},k=1,2,3,\dots ,n)$ と数列の有限差分 $\Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}$ が $\lim _{n\to \infty }\Delta x_{k}=0$を満たし、 区間 $I=[a,b]$ 上で定義された実数値連続函数 $f$ があるとき、

$\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}$

のことである。

この $n\to \infty$ での極限が、リーマン積分

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}$

である。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 最初にリーマン和を左リーマン和 $\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})\Delta x_{k}$ と右リーマン和 $\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}$の形で導入したのはオイラーであるが、 それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。 以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった 。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， ${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(s)ds=f(x)$ を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．" これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

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  左リーマン和

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  右リーマン和

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  中点則

$0\leq x\leq 2$における $y=x^{2}$ の右リーマン和

リーマン和の具体例

被積分函数が単項式のとき

例えば、$[1,2]$ で $f(x)=x^{2}$ のとき

等差数列

等差数列 $x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

$\sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$

$\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$

となる。

等比数列

等比数列 $x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

$\sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}$

$\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}$

となる。

$f(x)=x^{2}$ は$[1,2]$ で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で

$\sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、$n\to \infty$ の極限で収束するので、

$\int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}$

が得られる。

積分の結果が対数となるとき

$[1,2]$ で $f(x)={\frac {1}{x}}$ のとき

等比数列 $x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k-1}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)$

となる。 $f(x)={\frac {1}{x}}$ は$[1,2]$ で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、$n\to \infty$ の極限で収束するので、

$\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)$

が得られる。