リュイリエの定理 (L'Huilier's theorem ) とはスイス の数学者 サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ によって提唱された三角形 に関する幾何学の定理である。
三角形の3つの傍接円の半径の逆数 和は、内接円 の半径の逆数に等しい。
面積がSの三角形の3辺をa,b,cとする。
内接円の半径rの逆数は、
1
r
=
a
+
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}
3傍接円の半径rA 、rB 、rC の逆数は、
1
r
A
=
−
a
+
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{A}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}
1
r
B
=
a
−
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{B}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}
1
r
C
=
a
+
b
−
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{C}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}
依って逆数和は、
1
r
A
+
1
r
B
+
1
r
C
=
−
a
+
b
+
c
2
S
+
a
−
b
+
c
2
S
+
a
+
b
−
c
2
S
=
a
+
b
+
c
+
(
a
−
a
)
+
(
b
−
b
)
+
(
c
−
c
)
2
S
=
a
+
b
+
c
2
S
=
1
r
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c+(a-a)+(b-b)+(c-c)}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}
これは示されるべきことであった[1]
^ リュイリエは、彼の著書において
S
=
r
⋅
r
A
⋅
r
B
⋅
r
C
{\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{A}\cdot r_{B}\cdot r_{C}}}}
関連項目 [ 編集 ] Simon Lhuilier (1809). Elémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique, appliquées à la recherche des lieux géométriques . A Paris: chez J. J. Paschoud; à Genève: chez le même libraire. pp. 223-224. doi :10.3931/e-rara-4330 外部リンク [ 編集 ] 
