ラマヌジャン・スコーレムの定理

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ラマヌジャン・スコーレムの定理(ラマヌジャン・スコーレムのていり、: Ramanujan-Skolem's theorem)またはラマヌジャン・ナーゲルの定理(ラマヌジャン・ナーゲルのていり、: Ramanujan-Nagell's theorem)はディオファントス方程式の一つの解に関する定理で、次の不定方程式

2n − 7 = x2

の自然数解が存在するのは n = 3, 4, 5, 7, 15 のときだけであるというもの。(n, x) = (3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, 11), (15, 181) である。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予想し、ナーゲル (Trygve Nagell) が1948年に(元の証明はノルウェー語で発表されたが、1961年に英語版の論文が発表された)、トアルフ・スコーレム1959年に証明した。

一般化[編集]

一般に 与えられた正の整数 D に対して

は有限個の解しかもたない。ロジェ・アペリー は 7 以外の正の整数 D に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したが[1]、Beukersは2つの正の整数解をもつのは

の場合に限ることを示し、さらに n < 435 + 10 log |D| / log 2 (これは D が負の場合にも成り立つ)となることを示した[2]

Lebesgue–Nagell 方程式[編集]

一般に、任意の整数 A, D に対して、不定方程式

の整数解 x, y, n の個数は有限個で、原理的に計算可能である[3]。M. Lebesgue (アンリ・ルベーグとは別人)は1850年に

の整数解は x = 0, y = 1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue–Nagell 方程式とよぶ。フェルマーの最終定理の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を A = 1, 1 ≤ D ≤ 100 に対して解いた[4]。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式

の自然数解は x = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。

脚注[編集]

  1. ^ Apery (1960)
  2. ^ Beukers (1981)
  3. ^ Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など
  4. ^ Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)

参考文献[編集]