モールの応力円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

モールの応力円(モールのおうりょくえん、Mohr's stress circle)とは、物体内の応力状態を図示するときに現れる円である。名称はクリスティアン・オットー・モール英語版にちなむ。

平面応力状態[編集]

平面応力状態において座標を (x, y) とし、物体内にはたらく垂直応力がσx、σy、せん断応力がτであるとき、この座標系に対して角度φだけ傾いた断面にはたらく応力σ'、τ' は

\begin{align}
\sigma' &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\phi + \tau\sin2\phi, \\
\tau' &= \frac{1}{2}(\sigma_y-\sigma_x)\sin2\phi + \tau\cos2\phi
\end{align}

で表される。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる[1]

\left(\sigma'-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau'^2 = \frac{(\sigma_x-\sigma_y)^2}{4} + \tau^2

これはσ'-τ' 平面上で円の方程式になっており、これをモールの応力円という。

モールの応力円を用いれば、主応力σ1、σ2 は円とσ' 軸との交点でのσ' の値となり、主応力面の角度は円上の点 (σx, τ) と円の中心を結ぶ線分がσ' 軸となす角の半分で表され、図の上で求めることができる。

3軸応力状態[編集]

より一般的な3軸応力状態の場合、その主応力をσ1、σ2、σ3 とすると、応力円は

  • 2点 (σ1 , 0), (σ2 , 0) を結ぶ線分を直径とする円
  • 2点 (σ2 , 0), (σ3 , 0) を結ぶ線分を直径とする円
  • 2点 (σ1 , 0), (σ3 , 0) を結ぶ線分を直径とする円

の3つが描かれ、任意の断面の応力はこれらの円で囲まれた領域内の点で表される。

[編集]

純粋せん断[編集]

平面応力状態で、せん断応力τのみを受ける場合のモールの応力円は、原点を中心とし、半径がτの円となる。したがって主応力はx軸と±π/4の角度をなす面で生じ、σ1, σ2 = ±τとなる。

類似する概念[編集]

モールの応力円と同様の図示法がある。

脚注[編集]

  1. ^ a b 渋谷寿一; 本間寛臣; 斎藤憲司 『現代材料力学』 朝倉書店、1986年、117-127頁。ISBN 4-254-23051-6 
  2. ^ 中村恒善編 『建築構造力学 図説・演習 I』 (2版) 丸善、2000年ISBN 4-621-03965-2