ポアンカレ・ホップの定理

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数学において、ポアンカレ・ホップの定理(Poincaré–Hopf theorem)(ポアンカレ・ホップの指数公式ポアンカレホップの指数定理などとしても知られている)は、微分トポロジーで使われる重要な定理である。命名はアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)とハインツ・ホップ英語版(Heinz Hopf)に因んでいる。

ポアンカレ・ホップの定理は、よく髪の毛定理英語版(Hairy ball theorem)として特別な場合を簡単に説明されることがある。この定理は、流出点と流入点を持たないような球面上の滑らかなベクトル場は存在しないという定理である。

定理の内容[編集]

M を次元 n の微分可能多様体とし、vM 上のベクトル場とする。xv の孤立した零点とし、x の近くの局所座標を固定する。xD の中で v の唯一の零点となるように x を中心とする閉球体 D を取ると、x での v の指数 indexx(v) を、u(z)=v(z)/| v(z) | により与えられる D境界から (n−1) 次元球面への写像 u:∂DSn-1次数として定義する。

定理Mコンパクトな向き付け可能微分多様体とする。vM 上の孤立した零点を持つベクトル場とする。M境界を持つと、V を境界に沿って外向きの法線方向を指しているようにすると、次の公式を得る。

ここに、指数の和は v の孤立した零点のすべてを渡り、Mオイラー標数である。

定理は、2次元の場合にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により証明され、後日、ハインツ・ホップ英語版(Heinz Hopf)により高次元へ一般化された。

重要性[編集]

閉曲面のオイラー標数は、純粋に位相幾何学的な概念であり、一方、ベクトル場の指数は純粋に解析的な概念である。このように、この定理は、一見、関連のありそうにない数学の分野の間の深い関係を確立した。この定理は、おそらく、定理の証明が積分、特にストークスの定理に深く依存していることに、興味が湧く。ストークスの定理は、微分形式外微分の積分が、境界上の微分形式の積分に等しいという定理である。境界を持たない多様体という特別の場合には、この定理は、積分が 0 であることになる。しかし、湧出点や流入点の充分小さな近傍でベクトル場を解析することにより、湧出点や流入点は、全体に対し整数の量(指数として知られている)の分、寄与することと、それら指数のすべての和が 0 であることが分る。この結果は、幾何学的解析的、さらに物理的な概念の間の深い関係性を確立する一連の定理の最も早期の定理のひとつ[どれ?]であると考えられる[誰?]。それらは、双方の分野の現代の研究において重要な役割を果す。

証明のスケッチ[編集]

1. ある高次元ユークリッド空間の中へ埋め込まれた M を考える。(ホイットニーの埋め込み定理英語版(Whitney embedding theorem)を使う。)

2. ユークリッド空間の中の M の小さな近傍 Nε を取る。この近傍へベクトル場を拡張し、同じ零点と同じ指数を持つようにする。加えて、Nε の境界で拡張されたベクトル場が、外向きであることを確認する。

3. 旧いベクトル場(と新しいベクトル場)の零点の指数の和は、Nε の境界から (n–1)-次元球面へのガウス写像英語版(Gauss map)の次数に等しい。このように、指数の和は、実際のベクトル場とは独立で、多様体 M のみに依存している。技術的には、小さな近傍を持つベクトル場のすべての零点を取り去ると、n-次元多様体の境界から (n–1)-次元球面への写像の次数が 0 であるという事実を使う。この事実は n-次元多様体全体へ拡張することができる。

4. 結局、この指数の和を M のオイラー標数と同一視する。このためには、M三角形分割英語版(triangulation)を使い、M 上にオイラー慓数に指数の和が等しいことが明らかな特別なベクトル場を構成する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]